Теория пространства, времени и тяготения - Фок В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Используя обозначения (19.09) и полагая
"y>"7f7 ^iq^kp ?Zr> (19.11)
мы можем переписать формулу (19.10) в виде
3
Ti^hJr. (19.12)
Г~1
Рассмотрим теперь определитель
"и "12 "13
д = "21 "22 "23 (19.13)
"81 "32 "33
По свойству ортогонального преобразования Д2=1, причем, если это
преобразование есть простой поворот осей, то Д=-ф1, а если поворот
сопровождается отражением (изменением знака одной или псех трех
координат), то Д = - 1. В обоих случаях
&г = Д-"1г- (19-14)
яо
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. I)
Таким образом, для простого поворота осей мы имеем
(19.15)
г=1
а для несобственного ортогонального преобразования (поворот с отражением)
8
7'1=-2"*Тг. (19.16)
"¦= 1
Формула (19.16) показывает, что при простом повороте осей совокупность
величин (19.08) преобразуется как вектор, а при повороте с отражением
преобразование, подобное векторному, сопровождается изменением знака всех
составляющих. Совокупность величин с таким законом преобразования принято
называть аксиальным вектором, в отличие от полярного вектора, который во
всех случаях преобразуется по формуле (19.02). Легко видеть, что
векторное произведение двух полярных векторов будет аксиальным вектором.
Физическим примером полярного вектора может служить вектор электрического
поля, а аксиального - вектор магнитного поЛя (то и другое - в смысле
трехмерного векторного исчисления). Формулы (19.08) показывают, что
аксиальный вектор является по существу тензором второго ранга; поэтому,
если пользоваться терминами "вектор" и "тензор" в смысле определений
(19.02) и (19.05), то без термина "аксиальный вектор" можно обойтись.
Аналогично можно определить, в трехмерном евклидовом пространстве, тензор
более высокого ранга. Так, например, тензором третьего ранга будет
совокупность величин преобразующихся
при повороте осей по закону
3
Т ijk (19.17)
7, т, п = 1
С другой стороны, величину, которая не меняется при повороте осей, можно
также рассматривать как тензор, а именно как тензор нулевого ранга. Такую
величину принято называть скаляром или инвариантом.
Если дан тензор второго ранга, то можно составить такую комбинацию его
составляющих, которая не меняется при повороте осей, т. е. ведет себя,
как скаляр. Такой линейной комбинацией является сумма диагональных
элементов тензора второго ранга, т. е. величина
Т='%Ти. (19.18)
г
Используя свойство
2"Лг = 5,7 (19.19)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕНЗОРА В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
81
коэффициентов ортогонального преобразования, легко проверить, что из
(19.05) вытекает
V - Т, (19.20)
т. е. что Т есть скаляр. Подобно этому, из составляющих тензора третьего
ранга можно составить три вектора:
Ai - 2 Tlmm\ Cl='2iTmml. (19.21)
m m m
Можно поставить себе вопрос: нельзя ли, вместо тензоров,
ввести другие величины разных рангов, но так, чтобы из составляющих
данного ранга уже нельзя было образовать таких линейных комбинаций,
которые преобразовывались бы, как величины более низкого ранга.
Такие величины действительно можно построить. Закон преобразования для
них будет тот же, как для гармонических полиномов, связанных с
обыкновенными шаровыми функциями. Напомним, что если ввести сферические
координаты
jc = /¦ sin 0 cos <р; у = г sin 0 sin (r); z = cos Я,
то умноженная на г1 шаровая функция порядка / будет гармоническим
полиномом от х, у, z:
rlyim^< i) = Plm{x, у, Z).
Порядок I будет соответствовать рангу тензора, но число составляющих
данного ранга будет меньше, чем у тензора. После поворота осей
гармонический полином Ры(х', у', z') выразится, как линейная комбинация
полиномов Рш(х, у, z), соответствующих различным m (m. = - I, -/+1,
...,/) по одному и тому же I. Коэффициенты этого линейного преобразования
и будут характеризовать закон преобразования величин ранга I.
Обратим, наконец, внимание на следующее обстоятельство. В наших
рассуждениях мы предполагали, что тензоры (или аналогичные им величины)
являются, по их физическому смыслу, величинами вполне определенными,
включая их знак. Сообразно этому, коэффициенты в формулах преобразования
были у нас однозначными функциями от косинусов aik. Но можно себе
представить и такие величины, которые являются определенными лишь с
точностью до знака (вполне определенными будут тогда их квадратичные
комбинации). В таком случае необязательно ограничиваться
преобразованиями, коэффициенты которых однозначно определяются через а ,
а можно ввести и коэффициенты, определяемые лишь с точностью до знака
(одного и того же во всех коэффициентах). Это приводит к новой категории
физических величин - к так называемым спинорам, и к соответствующему
обобщению шаровых функций с их
5 Зак. 485. В. А. Фок
82
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В ТЕНЗОРНОЙ ФОРМЕ
[гл. и
законом преобразования. Такие величины применяются в квантовой механике.
Таким образом, тензоры не являются единственными геометрическими
величинами с определенным законом- преобразования. Однако в обычных (не-
квантовых) применениях теории относительности можно ограничиться
