Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
128
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИ Il III,НОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
перехода с (п— 1)-ш на п-й слой. В схему (4) укладываются аппроксимации линейных краевых задач для уравнений с частными производными с переменными (по t их) коэффициентами при однородных краевых условиях. Вопрос об устойчивости такой схемы сводится к оценке
Ns
Irid*= с.
П=1
Если такая оценка получена, постоянная С не зависит от s и не является неприемлемо большой с практической точки зрения, то схему естественно считать устойчивой.
Обычно исследуют более простые схемы, в которых матрицы А, В не зависят от п (коэффициенты аппроксимируемого уравнения не зависят от t). Тогда оператор перехода есть Rs, и
оценке подлежит ||Я?Ч1- Оценка ||/?s|| < 1 + Cr достаточна для вывода об устойчивости, однако общие критерии устойчивости предпочитают формулировать в терминах матриц А, В, так как именно они получаются в явном виде при конструировании разностной схемы.
Существуют и другие «канонические» формы записи разностных схем. В частности, в трудах А. А. Самарского и его учеников, активно развивавших общую теорию устойчивости разностных схем, принята следующая форма записи двухслойных схем:
і
^-lV-=s2W? • (5)
Легко перейти от (4) к (5) и наоборот. В их теории введены и исследованы трехслойные схемы в канонической форме и т.п. На этом пути получены необходимые и достаточные условия устойчивости в форме некоторых матричных неравенств. К сожалению, проверка таких неравенств возможна лишь в очень простых случаях, аналогичных схеме, аппроксимирующей уравнение теплопроводности, для которой было проведено полное исследование устойчивости, например в теореме 11.1.
Устойчивость краевых условий. Опишем в общих чертах алгоритм исследования устойчивости краевых условий, предложенный К. И. Бабенко и И. М. Гельфандом. Он относится к той же упрощенной схеме, которая была использована для исследования спектральной устойчивости. Однако учитывается то, что схема имеет дело с сеточной функцией, определенной при w = 0, I, ..., М, и стандартные уравнения во внутренних узлах сетки дополнены краевыми условиями. Практический рецепт таков: нужно исследовать спектральную устойчивость трех задач, вычислить три спектра. Если все
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
129
три задачи устойчивы, схема оказывается устойчивой (по начальным данным и краевым условиям).
Первая задача — это стандартное исследование спектральной устойчивости. Перейдем ко второй задаче — к анализу разностной схемы на правой полупрямой, т.е. при т = 0, 1, 2, ... Устойчивость исследуется с помощью той же конструкции общего решения XnCtntlf, HO теперь, как было указано, кроме f Є [0, 2л], необходимо учесть <р, которые совместимы с левыми краевыми условиями и для которых функции е‘т* не возрастают вправо. Точнее, следует учесть, что т ограничено величиной O(Hh), поэтому допустимы значения
I e,{f\ ^ I + Ch, где С, естественно, не зависит от h, т.е. Re(i»f>) < Ch.
Поясним сказанное простым примером. Рассмотрим явную схему для уравнения теплопроводности с краевым условием
-Ц| -T Ц° — fiuZ = 0, или (1 + к$)и1 — и'{ — 0. п *
Подставляя в него Xneimv, получаем уравнение для дополнительных значений 9:
е'-р = 1 + рА, <р = у In (1 + PA) яа-фк, (1 + PA)1"1 = 0(1). Вычислим для if точку спектра по стандартной формуле:
Третья задача аналогична второй, только рассматривается разностная задача на левой полупрямой т = 0, —1, —2,... Итак, схема оказалась устойчивой по краевым условиям, согласно критерию Бабенко— Гельфанда. Связь этой формальной устойчивости с содержательной, т.е. с оценкой роста вычислительных погрешностей, составляет существо этой весьма нетривиальной теории, развитие которой (С. К. Годунов, В. С. Рябенький) привело к выделению тонких и нестандартных в классической спектральной теории понятий (спектр семейства разностных операторов и др.).
Заметим, что вычислительная устойчивость схемы имеет место как при р > 0, когда исходная дифференциальная задача действительно устойчива, так и при (3 < 0, когда она неустойчива. В последнем случае, если р меньше некоторого P0 < 0, решение дифференциальной задачи растет, должно, соответственно, расти и решение разностной задачи, но этот рост не имеет катастрофического характера, его темп от т практически не зависит.
Таким образом, следует отличать неустойчивость решения разностного уравнения, являющуюся аппроксимацией неустойчивости решения дифференциальной задачи, от вычислительной неустойчиво-
5 — 1833
1 зо
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч. 1
ста разностной схемы, которая является неприемлемым недостатком данной разностной схемы и к дифференциальной задаче отношения не имеет. Рекомендуем читателю провести численное решение задачи с разными j3, а также проверить, что краевое условие U0 — 2 U1 — 0 вы-числительно-неустойчиво. Однако это лишь методический пример, так как он соответствует аппроксимации физического краевого условия с ненормальным значением (3 = —2Ik.
Устойчивость и погрешности расчетов. Итак, мы выделили два основных свойства разностных схем: аппроксимацию и устойчивость, наличие которых по теореме Рябенького—Филиппова обеспечивает точность расчета. Однако не секрет, что часто расчеты дают неверные результаты. Более того, практически каждый достаточно сложный расчет не имеет никаких гарантированных (в математическом смысле) оценок точности. Даже в тех относительно простых ситуациях, когда имеются оценки точности, ими лучше не пользоваться: они настолько завышены, что могут привести к незаслуженной дискредитации полученных результатов.
