Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
Приближенное решение. Алгоритмы приближенного решения задач оптимального управления формально мало отличаются от алгоритмов решения задач математического программирования. Ho здесь есть своя специфика, и некоторые алгоритмы практически оказываются почти нереализуемыми. Первый специфический момент — это вычисление производных (мы пока ограничимся задачами, в которых все функционалы дифференцируемы по Фреше).
Основу алгоритмов составляет формула первого члена ряда Тейлора. При малом изменении управления и( ¦) функцией Ьи( •) происходит малое изменение функционала:
F[u(-) + дмС)] =F[u(-)] + 6tt(.).
458 ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ [Ч. II
Эта абстрактная формула должна быть конкретизирована:
би(-) -j wo, *«(0)*. (11)
О
*
Вектор-функция w(t) (размерности г) называется производной Фреше функционала ^'[ы(-)] в точке и(-). Функциональные производные в современных исследованиях используются достаточно часто (см. § 27).
Вычисление функции w требует интегрирования определенного в точке и(-) так называемого сопряженного уравнения
-Ч> = /*[*, *(0> м(01 Ч>(0 + у(0. Ip(T1) = O, (12)
где x(t) — траектория, соответствующая и(-). Функция Y(I) для данного функционала легко вычисляется. Например, для F вида (7) имеем
Y(t) =Ф*[г, x(t), u(t))\.
для F вида (8)
У(0=Ф,[*(ОМ(*-О.
Здесь 6(1 — Ґ) — функция Дирака с полюсом в точке f. После решения уравнения (12) функциональная производная вычисляется по формуле, полученной в § 27:
40 =/«[*> *(0» “(01 Ч>(0 + ф„^> x(t), и(/)]. (13)
Реализация вычислительной схемы требует конечномерной аппроксимации всех объектов. Опишем возможный вариант.
Сетка и управление. Введем на [0, T] сетку 0 = t0 < tx < ... < tN = T
и будем рассматривать кусочно-постоянные управления
w(0 ип+1/2’ t ^ (^n’ ^n + l)'
Обычно в расчетах IO2. Вариация 6м(0 ищется в том же классе функций.
Траектория x(t). Интегрируя (численно) задачу Коши (5), запомним значения х в узлах сетки tn; обозначим их хп (n = 0, 1, ..., N). Так как каждое значение tn является возможной точкой разрыва u(t), следует быть осторожным, используя методы интегрирования высокого порядка точности. Эта точность реализуется лишь при достаточной гладкости /, в том числе и по I. Следую-
§28]
ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
459
щее почти очевидное условие позволяет сохранить эту точность. Используя, например, метод типа Рунге—Кутты, необходимо брать шаг численного интегрирования таким, чтобы все точки сетки tn входили в число узлов численного интегрирования.
Отметим, что сетка tn не является сеткой численного интегрирования системы (5). Последняя обычно существенно гуще и в явном виде не присутствует. Сетка, однако, должна быть достаточной для представления траектории x(t) и для ее восстановления (например, линейной интерполяцией значения хп) с необходимой для дальнейшего точностью (не очень, в сущности, высокой). ,
Линеаризация задачи. Сопряженное уравнение (12) интегрируется многократно ( т + 1 раз; для каждого дифференцируемого функционала F1 требуется свое интегрирование). Уравнение (12) линейное с
переменной матрицей /* [t, x(t), u(t) ], определенной на варьируемой траектории {х(/), и(і)}. Реализуется это, например, аппроксимацией матрицы f х кусочно-постоянной на той же сетке, т.е. вычисляются матрицы fx[n + 1/2] = fx[tn+ід, х„+1/2, м„+1/2]. Аналогично вычисляются матрицы fu[n + 1/2] и векторы Y[n + 1/2], Фи[п + 1/2]. Теперь уже интегрирование системы (12) осуществляется без труда. Для дальнейшего нам нужны не гр(ґ), а интегралы
*п+1
K+U2 = Ги[п + 1/2] \ V(0 dt + Ф' [п + 1/2], / = 0, 1, ..., т.
К
Имея А'1+1/2, можно вычислить последствия возмущения управления величинами 6un+1/2 (n = 0, I, ...,N- 1):
N-I
F[u(-) + 6м(-)1 **¦[«(•)] +2 Ап+1/2 Sun + 1/2. (14)
n=О
Здесь An+1/2 матрица г-* т+ 1. Формула (14), разумеется, приближенная. Ее погрешность связана как с пренебрежением величинами 0(||6м||2), так и с погрешностями описанных выше аппроксимаций, из которых наибольшие последствия, видимо, имеет переход к кусочно-постоянным матрицам /х[п + 1/2].
Располагая формулами (14), после вычисления всех hn+1/2 можно осуществить выбор вариации {6wn+1/2}nJo решением задачи линейного программирования. Процесс решения задачи поиска условного экстремума организуется так, как это было описано в § 26. Однако стоит отметить некоторые важные детали. Они связаны с тем, что формулы (14) получены аппроксимацией континуальных фор-
460
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКЙ
[Ч. II
мул (11). Поэтому «горизонтальный» размер задачи линейного программирования (т.е. число неизвестных дип+1/2, равное Nr) обычно
много больше ее «вертикального» размера т + 1. Существенно еще и то, что эта задача сильно «почти вырождена»: компоненты hn+l/2 для близких значений индексов очень близки друг к другу, как сеточное представление некоторых гладких функций. Эффективное решение таких задач линейного программирования требует специализированных алгоритмов. Попытки использования обычных стандартных программ линейного программирования часто оказываются в этих ситуациях неудачными.
