Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
В уравнения на верхнем слое входят близкие величины трех видов. Поясним это на примере Tmjrll2 (то же самое относится и к
Г" +1/2 (с нижнего слоя) считаются уже известными. При вычислении
T«V,/2 методом итераций фигурируют уже найденные значения
1/2 (*~е приближение К Т"+11/2) И НЄИЗВЄСПЩЄ ЗНЭЧеНИЯ Т(п[*\>12. В
пределе величины 1/2 ~+*1/2- MbI ИСПОЛЬЗуеМ обозначения
I'm + 1/2 -^m +1/2! -^m+ 1/2 ^ni + V/2- Именно по отношению к неизвест-
ным Тт+1/2 производится линеаризация при выполнении очередной итерации.
Аппроксимация уравнений движения:
(стандартная аппроксимация применима при m = 1, 2, ..., M- 1),
+ 1/2» tO- Мы имеем дело с Tnm + 1/2> 7?.?. Т(^Х\)2. Величины
T
In
m
= 0*
(2)
(3)
T
2
(формула применима при всех т = 0, 1, ..., М). Уравнения для удельного объема:
(4)
т h
Лт + 1/2
(формула имеет смысл при m = 0, I, ..., M — 1).
326
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. H
Уравнение доя энергии:
h
¦т+1/2
(5)
(уравнение имеет смысл при m = 1, 2, M — 1).
К уравнениям (2)-(5) следует добавить выражения для величин
Qm +1/2’ Pm’ Хт’ НЄ ВХОДЯЩИХ В ЧИСЛО ОСНОВНЫХ СЧеТНЫХ ВЄЛИЧИН. а) Неймановская вязкость дт+ц2имеет вид (m = 0, 1, М—1)
При этом — Q («фиктивное» граничное условие).
б) Интерполяция рт осуществляется по естественной формуле
Это — линейная интерполяция, имеющая формально погрешность аппроксимации O(A2)5 т.е. минимальную, обеспечивающую при численном дифференцировании погрешность O(h). Она была введена на заключительном этапе эксплуатации программы. Первоначально использовалась рассчитанная на равномерную сетку формула рт = (рт-ід + pm+i/2)/2. В дальнейшем сетка стала неравномерной, а формула осталась, что привело к определенным трудностям,
о которых будет сказано подробнее ниже. Заметим, что формально ошибочная формула с полусуммой рекомендуется и сейчас. Это приводит к существенным ограничениям сетки хт: она должна быть «почти равномерной», т.е. Am+1/2 = Am_1/2(1 + 0(h)).
в) Коэффициент теплопроводности Xm вычисляется по формуле,
в которой совмещаются идеи линейной и «гармонической» интерполяции (см. § 21).
Обсуждение разностной схемы. Приведем соображения, на основании которых были выбраны вышеприведенные формулы аппроксимации.
Два типа узлов. Разделение счетных точек на целые (механические) и полуцелые (термодинамические) является очевидным следствием различного вхождения соответствующих величин в уравнения. В каждое уравнение входят производные по времени от вели-
?т + 1/2 = (?/Wm + l/2) |(«т + 1 - Ю - I + l - «ті}От+1 “ Мт)‘
_ ^яі-1/2Ряі-И/2+^ш+1/2Ряі-1/2 ^m-1/2 + ^m+1/2
РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЫ
327
чин одного сорта и производные по X от величин другого сорта. Это кажется нарушенным для уравнения энергии, но выполняется и для него, если использовать эквивалентную недивергентную форму
В дальнейшем мы заменим приведенную выше аппроксимацию уравнения для энергии (5) на эквивалентную, но столь же компактную, как и очевидная аппроксимация уравнения в форме (6).
Используемая сетка позволяет при минимальном шаблоне получить (на равномерной сетке) второй порядок аппроксимации по х, а при аппроксимации пространственных производных комбинацией аппроксимаций по верхнему и нижнему слоям с весами 0.55 и 0.45, например, можно получить «почти второй» порядок аппроксимации по т. При весах 0.5 и 0.5 порядок был бы вторым, однако схема стала бы (по спектральному признаку) нейтральной, т.е. точки спектра, соответствующие параметру Ф = л, оказываются на единичной окружности и высокочастотные паразитические возмущения хотя и не нарастают* катастрофически, но и не затухают.
Кроме того, формальный разностный порядок производных совпадает с формальным их дифференциальным порядком. В связи с этим схема не требует дополнительных краевых условий (или «односторонних» разностных аппроксимаций в ближайших к краям счетных точках), необходимых при превышении разностным порядком схемы истинного порядка дифференциальных выражений.
Дивергентность схемы. Все разностные уравнения имеют так называемый дивергентный вид, т.е. они могут быть записаны в следующей форме (для термодинамических величин и скорости уравнение имеет ту же форму со сдвигом индекса т на 1/2):
где PnQ — функции от основных счетных величин. (Такой вид имеют разностные уравнения в предположении, что уравнения на верхнем слое решены точно. Фактически же они выполняются с точностью до погрешности итерационного процесса, обычно пренебрежимо малой.)
Следствием дивёргентности схемы является выполнение разностных аналогов известной интегральной формы уравнений газовой динамики (см. § 20). Именно она является основой определения обобщенных решений, и это обстоятельство весьма существенно для расчетов, так как программа предназначалась в первую очередь для решения задач с разрывами.
et + (Р+ я) Ux= (хТх)х
(6)
>п Onjr^ _On
т+1/2 j
1/2
T
328
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
