Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
t о о
(в пределе при е-*0 эти величины совпадают).
ОСРЕДНЕНИЕ БЫСТРЫХ ВРАЩЕНИЙ
281
Интеграл в правой части (25) вычислить легче, чем интеграл на линии. Поясним это. Пусть Q(а, (3) — простая функция, для наглядности обращающаяся в нуль на границах прямоугольника. Функция на линии Q(t', Ґ) показана на рис. 286. Это сложная функция: вычисление интеграла по линии с помощью какой-либо квадратурной формулы требует большого числа узлов (порядка 0(е~1)). Обозначим среднее значение Q(a, р) по тору Р(я). (Напомним, что Q зависит от q). Тогда уравнение в медленном времени принимает вид dqjdx = P(q). В случае резонанса среднее значение Q вдоль линии a = a0 + t, (3 = t превращается в среднее по периоду тТ = пл, но зависит еще и от начальной фазы a0. В случае несоизмеримых периодов эта линия «равномерно» (при достаточно большом Д/е) покрывает тор независимо от того, в какой точке (a0, P0) она начинается.
Замечание. Смысл соотношения (25) можно пояснить так. Построим около линии a = р параллелограмм малой ширины h. Подберем h таким образом, чтобы площадь параллелограмма равнялась пТ, т.е. й(Д/е) = я7\ Интеграл по этой узкой «ленте» при очень малой ширине h = гжТ/А почти совпадает с интегралом по линии, умноженным на h. При «обмотке» «лента» заполнит ячейку пТ (площади перекрытий и пустот стремятся к нулю при E-* 0). Отсюда и следует (25).
Ряд Пуассона в специальном случае. При построении метода осреднения для многочастотных задач мы заинтересованы в использовании ряда Пуассона на возможно большем интервале времени. Это требует улучшения стандартных оценок за счет привлечения дополнительных предположений о функции /. Рассмотрим одно из таких уточнений, в котором используется предположение А = 0.5 (/2(z) + Z*(z)) Sg 0. В известном смысле можно говорить O том, что траектории невозмущенной системы «нейтральны», или «не неустойчивы», и что матрица /2 не имеет собственных чисел в правой части плоскости комплексного переменного, но может' иметь их на мнимой оси.
Оценим расхождение траекторий возмущенной и невозмущенной систем за время t = 0(є-1).
Утверждение 7. В рассматриваемом случае для траекторий систем
x = f(x) + є F(x), z = f(z), x(0) = z(0) = q0,
справедлива оценка ||jc(Z) — z(t) || < O(Et).
Доказательство. Имеем уравнение d
282
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИ
[Ч. II
Введя r2(t) = (х — z, х — z), вычислим и оценим производную:
Irr = 2(х — Z, х — z) — 2(/(х) — f(z), х — z) + 2 t(F(x), х — z).
В § 7 в аналогичном случае (при А < 0) было показано, что (/(х) — f(z), х — z) < 0. Предположим, что ||F(x)|| < В при всех х. Оценивая обычным образом (F(x), х — z) Br, получаем г < еВ, откуда и следует утверждение.
Теперь> перейдем к оценке первого приближения по ряду Пуассона Xj(0 == z(t) -(- ? -X1CO- Для xi имеем уравнение
*1 = /0) +/гО)(*1 - z) + E F(Z), ^1(O) = q0.
Преобразуем уравнение для х так, как это делалось раньше, но с более подробным представлением членов 0(е2): х = f(x) -I- е F(x) = f(z + (х — z)) + є F(z + (x — z)) =
= /(z) + fs(z)(x, — z) + O (||/J| ||x - zIl2) +
+ eF(z) + eO(||Fz|| ||x-z||).
Таким образом, уравнение для разности имеет вид
Я (*і - *) = - z) + °(11/».Н IIх - zII2) +е IIх - zID-
Используя А <0 и оценку ||х(<) — z(t) || < Btt, получаем
ll*i(0 - *(011 < O(WfxxW) + ^t2 O(IlF2Il). (26)
Из оценки (26) непосредственно вытекают два следующих утверждения.
Утверждение 8. На временах t = O(IfVt) первое приближение по ряду Пуассона сохраняет точность O(Vt).
Это утверждение следует из оценки первого члена правой части (26). Отметим любопытное обстоятельство. При t = 0(1/є) оценка погрешности первого приближения 0(1/е) хуже оценки «нулевого» приближения 0(1). Это — действие пресловутых «секулярных» членов: уточняя решение при малых t, они ухудшают его при больших.
Утверждение 9. Пусть невозмущенная система линейна, т.е. / хх = 0. Тогда первое приближение имеет погрешность О(е) на временах t & O(UVt) и погрешность O(Vt) на временах t^O(l/t314).
Это утверждение следует из оценки величины E2 I2. Оно представляет интерес, например, для задачи, в которой невозмущенная система распадается на несколько гармонических осцилляторов (задача об эволюции слабо связанных осцилляторов).
ОДНОМЕРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
283
§ 20. Одномерные уравнения газовой динамики и их численное интегрирование
Уравнения газовой динамики сами по себе представляют большой интерес, так как ими описывается очень важные явления. Вместе с уравнениями теплопроводности, распространения электромагнитных волн и т.п. эти уравнения входят в описания большого числа сложных явлений, интересующих современную физику. Развитие вычислительной физики в значительной мере определялось задачами газовой динамики. Необходимость их эффективного решения стимулировала разработку многих новых вычислительных конструкций, которые затем успешно использовались и в других областях. Поэтому специалисту в современной вычислительной математике нужно знать основные математические факты газовой динамики, чтобы понимать возникающие вычислительные трудности и способы их преодоления.
