Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
может иметь определенной четности, как поле Дирака. Пространственная
инверсия должна переводить нейтрино (т = - V2) в нейтрино с m = V2, но в
природе нет такой частицы, и, следовательно, она не может входить в поле.
Однако существуют антинейтрино с m = V2. Если мы, как в п. Е, введем
оператор зарядового сопряжения С, то относительно комбинированного
преобразования зарядового сопряжения и пространственной инверсии поле
может преобразоваться простым образом. Комбинированное преобразование
обозначим символом СР. Унитарный оператор СР мы определим соотношениями
СРа+(к-) (СР)'1 =а т] (к) Ь+ (Ik -f-), (СР)2=а1,где г| (к)-фазовый
множитель. Основываясь на свойствах вектора w(k), мы можем доказать, что
оператор СР преобразует компоненты поля Ф (е) в компоненты поля Ф+ (1е).
В самом деле,
СРФа (е) (СР)-1 = 23 (^)ссэ Ч (1е),
3
где а у - 2Sy есть 2 х 2-матрица спина. Значит, можно так построить
лагранжиан, содержащий поле нейтрино, что он будет инвариантным
относительно преобразования СР, но не инвариантным относительно отдельных
преобразований С или Р. (Подчеркнем, что сохранение заряда и
инвариантность относительно зарядового сопряжения - это совершенно разные
свойства.)
Электромагнитное поле
Электромагнитное поле-хорошо известное, классическое понятие.
Электромагнитное поле проявляется и на макроскопических расстояниях. Этим
оно отличается от ядерных полей, которые убывают экспоненциально с
расстоянием, начиная с расстояний порядка 10~13 см. Тем не менее для
построения последовательной теории, а также для согласования теории с
точными экспериментами мы должны проквантовать электромагнитное поле. Мы
убедимся ниже, что если операторы поля соответствуют
Частицы, поля и античастицы
201
частицам нулевой массы с m=± 1, т. е. преобразуются по представлениям
группы Пуанкаре Р(0> ±1>, то построенное таким образом поле обладает
свойствами электромагнитного поля. Соответствующие частицы называются
фотонами. Классическая интерпретация поля восстанавливается точно так же,
как это делается при переходе от квантовой к классической механике
частиц. Метод квантования аналогичен методу квантования поля нейтрино.
Нужно только заменить \ т\ = 112 на \ т\- 1 и внести еще два существенных
изменения. Прежде всего, для фотона возможны состояния с двумя
спиральностями т - ± К Следовательно, можно построить поле, имеющее
определенную четность, т. е. при электромагнитных взаимодействиях
четность может сохраняться. Второе изменение связано с тем, что фотон не
несет заряда, а значит унет античастицы, отличающейся от самого фотона. В
поле нейтрино присутствовали состояния с обеими спиральностями: одно для
частицы, другое для античастицы. Принимая во внимание два указанных
отличия, мы получаем естественное обобщение равенства (16.63) на случай j
т | = 1:
ф" (е) = (2л)-8/. j kj\dk (к) {а (к-) ехр (- ik.e) +
+ at(k-|-)exp(jk-e)}, Т16.65)
где а+ (к ±)-операторы рождения фотонов со спиральностями ±1. Теперь само
поле и коэффициенты w(k) являются трехмерными векторами. Выбирая в
качестве вектора w (к) трехмерный вектор, стоящий в третьем столбце
матрицы L<0' (он соответствует значению т =-1),
мы, как и раньше, можем доказать, что поля преобразуются следующим
образом:
Т(8, L)<D(e)|T-*(e, L) = (L<m>)-i<D(U + s),
+ - 4- ^ (16.66) Т (е, 1_)Ф+ (е) т-* (е, L) = Ф* (Le -)-е) L(1*0).
Такой выбор вектора w(k) обосновывается точно так же, как и в случае
нейтрино. Но необходимо выяснить струн-
202
Глава 16
туру вектора w(k). Он дается выражением
w (k) = L<0' "(RxyQz) = L10' к (R^) L(0' i> (Qz)
= kPll)(**y)
(16.67)
где мы воспользовались тем, что для вращений L(0'11 (R-xy)=* =
D(1)(R;cj/), а также тем, что для буста Qz = ехр {Ь\г) = =|ехр (ibXz) =
ехр (bsj матрица L(0'11 (Qz) становится диагональной, причем (Qz) = ехр
(- b) = kt. Соотношение между величинами b и kt следует из того, что Qz
(0 0 1 1) = = (00 ktkt), и в силу равенства (15.24) мы имеем chb - shb -
kt. Напомним (гл. 7, § 4, п. Д), что заданный в m-базисе вектор
(16.67) говорит нам, что w(k)-это вектор длины kt, пропорциональный
вектору
повернутому с помощью преобразования RXJ/. Поскольку преобразование RX!/
переводит ось г в ось, направленную вдоль вектора к, вектор w(k)
представляется в виде
где ег и е2-ортогональные единичные векторы, лежащие в плоскости,
перпендикулярной вектору к. Положение вектора ех на этой плоскости не
имеет значения, так как любой поворот в этой плоскости изменяет лишь
фазовый
в декартовом |базисе| 'имеет вид (ех-/еу)/21/г. Равенство
w (k) = kt [е^к) -t'e2 (к)]/21Ч (16.68)
Частицы, поля и античастицы
203
множитель вектора w(k). Но, выбрав вектор е2 в качестве оси вращения R ,
можно добиться, чтобы наши единичные векторы обладали следующими простыми
свойствами: e2(lk) = e2(k) и е1(1к) = - ех (к) (вектор Ik получается в
результате поворота на угол л). Тогда из формулы
(16.68) следует, что w(lk) = - w*(k).
Согласно формуле (15.91), операторы рождения частиц при пространственней
