Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
электромагнитного спектра. Правила отбора, определяющие возможные
переходы, могут быть получены тем же путем, что и для уровней атома в
кристаллическом поле (гл. 9, § 9, п. Б). В случае молекулы воды ввиду
наличия двух электронов на каждой орбитали основное состояние обладает
симметрией Ах, подобной симметрии заполненной оболочки. Возбужденные
состоя-
16
Глава 13
ния можно построить, переводя электрон с наименее связанной орбитали В2
на любую из незанятых орбиталей Ах и В2; при этом образуются состояния,
имеющие в первом случае симметрию В2, а во втором-симметрию А2 (табл.
13.2). За счет электрических дипольных переходов может возбуждаться
только первое из этих состояний, поскольку, согласно табл. 13.1,
векторное представление не содержит А2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Eyring Н., Walter J., Klmbal G, Е., Quantum Chemistry, Wiley, New
York, 1944.
Более специализированные книги:
2. Murrell J. N., Kettle S. F., Tedder J. М., Valence Theory Wiley, New
York, 1970.
3. Murrell J. N., Harget A. J., Semi-empirical Self-consistent Field
Molecular-orbital Theory of Molecules, Wiley, New York, 1972.
ЗАДАЧА
13.1. Молекула метана состоит иа четырех атомов водорода, расположенных в
вершинах правильного тетраэдра, и атома углерода - в его центре (группа
симметрии Та). Показать, что четыре атомные ls-орбитали атомов водорода
дают синглетную и три-плетную молекулярные орбитали. Заметим, что атомные
2s- и 2р-орбитали атома углерода также дают синглет и триплет с теми же
симметриями и, следовательно, этн состояния могут смешиваться, образуя
связывающие состояния.
14
СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
В данной главе мы остановимся на следствиях, к которым приводит наличие
трансляционной и вращательной симметрий в кристаллах. В § 1-3 речь пойдет
о трансляционной симметрии, а в §4 мы покажем, каким образом результаты
теории групп используются для определения волновых функций электронов в
кристалле. В следующих трех параграфах (§ 5-7) будет кратко сказано о
том, как эти результаты можно обобщить для различных типов элементарных
возбуждений в кристаллах (колебаний решетки, спиновых волн и экситонов).
В § 8 рассматриваются правила отбора при процессах рассеяния с участием
этих возбуждений, а в § 9 - следствия, вызванные наличием симметрий
точечных групп. При этом мы не пытаемся* осветить все стороны теории
пространственных групп, но лишь кратко характеризуем элементы группы и
неприводимых представлений более простых пространственных групп и
приводим примеры их применения к электронным состояниям.*
§ 1. ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ в КРИСТАЛЛАХ
Кристалл состоит из атомов или ионов, упорядоченно-расположенных в некой
пространственной решетке, которая определяется вектором
п = п1а1 + п2а2 + п3а3, (14.1)
где все nt-целые числа. Векторы а,- называются векторами основных
трансляций; они должны быть некомпланарными. Параллелепипед, построенный
на векторах аи а2, а3, называется элементарной ячейкой. В простейших
кристаллах имеется в точности по одному атому в каждом узле решетки, но в
более общем случае с каждым>
18
Глава 14
узлом связана некоторая совокупность атомов с определенным относительным
расположением. На рис. 14.1 изо-•бражен двумерный кристалл с двумя
атомами в элементарной ячейке.
Согласно формуле (14.1), пространственная решетка (а следовательно, и
твердое тело) простирается до бесконен-ности. В действительности же
кристалл конечен, но содержит очень большое число атомов: около 1020 в 1
см3.
Здесь мы рассмотрим лишь модель бесконечного кристалла, которая, по-
видимому, позволяет вычислять так называемые объемные свойства образца
(например, проводимость и удельную теплоемкость). Эти свойства хорошо
характеризуют образцы с малым отношением поверхности к объему; точнее,
число атомов, на которые оказывает влияние поверхность кристалла, должно
быть мало по сравнению е полным их числом.
Бесконечный кристалл, вообще говоря, будет обладать симметриями,
включающими вращение, но пока мы ограничимся лишь чисто трансляционной
симметрией, описываемой группой операторов трансляций Р (n) s р (п-^п^
п3), смещающих произвольную точку г в точку r-f-n:
P(n) r = r + n = r + n^-f пааа + п3аз. (14.2)
Здесь векторы основных трансляций а,- фиксированы, а коэффициенты п,--
целые числа. Эту группу мы будем -обозначать в дальнейшем через ?Г (а1(
а2, а3). Заметим, что "число ее элементов бесконечно велико.
Симметрия в кристаллических твердых телах
19
§ 2. ГРУППА ТРАНСЛЯЦИЙ ^ (ах, аа, а3)
Закон умножения для трансляций нетрудно вывести из определяющего
уравнения (14.2), а именно:
Р (m) Р (n) г = Р (т) (г + n) = г + п + т =
= r + (n + m) = P(n-f-m)r. (14.3)
Отсюда ясно, что группа трансляций является абелевой и, в частности,
трансляции в направлениях всех трех основных векторов а,- коммутируют
друг с другом. Таким образом, группу трансляций можно рассматривать как
прямое произведение трех подгрупп трансляций вдоль основных направлений.
