Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
покоящейся частицы с полуцелым спином и ненулевой массой. Дипольный
момент определяется по изменению энергии, пропорциональному внешнему
электрическому полю Е, т. е. соответствующий член в гамильтониане
взаимодействия имеет вид DE, где D - оператор дипольного момента. В
квантовой механике оператор D является вектором. В случае частицы со
спином s нас будут интересовать матричные элементы вида <ms I I msy, если
в качестве оси г мы выберем направление поля Е. Поскольку D-векторный
оператор, по теореме Вигнера-Эккарта [формула (7.54)] имеем
<ms | Dz| msy = (-l)s+^ <-ms | Dz\-ms>. (15.113)
138
tAOM 15
Но из (15.108) следует, что Г|/иЛ> = (-+ - ms>,
так что в зависимости от того, является ли оператор Отчетным или нечетным
по отношению к обращению времени, имеем <ms | Dz \ms> = ±<-ms | Dz |-т{>*
= ±< - -mt\Dz\-msy, поскольку оператор Dz должен быть эрмитовым для того,
чтобы изменение энергии в электрическом поле было действительным.
Сравнивая это выражение с выражением (15.113), мы видим, что дипольный
момент не равен нулю только в том случае, если Dz-нечетный оператор.
Согласно принятой в настоящее время теории электромагнитных
взаимодействий, инвариантной относительно обращения времени, Dz-четный
оператор.Это согласуется с тем фактом, что ни у одной частицы дипольный
момент не обнаружен. В настоящее время проводятся очень точные измерения,
имеющие целью выяснить наличие хотя бы весьма малого дипольного момента у
нейтрона. Наличие такого дипольного момента указывало бы на нарушение
симметрии относительно обращения времени. Это также указывало бы на
несохранение четности, поскольку, согласно принятой в настоящее время
теории, в которой четность сохраняется, оператор Dz имеет отрицательную
четность относительно пространственной инверсии. Поэтому для частицы,
имеющей определенную четность, диагональный матричный элемент оператора
Dz должен быть равен нулю.
Несмотря на многочисленные эксперименты, определенных указаний на
нарушение симметрии относительно обращения времени найдено не было1). Эта
ситуация резко отличается от ситуации с пространственной инверсией.
Левосторонность нейтрино приводит к тому, что в слабых взаимодействиях,
таких, как (3-распад, симметрия относительно пространственной инверсии
сильно нарушается .
Группа 5V
Поскольку переход от группы 3* к группе не вызывает никаких изменений в
пространствах неприводимых представлений, переход от группы 3s t к группе
3ist, со-
х) Такое нарушение симметрии обнаружено в реакции распада /С-мезонов.-
Прим. ред.
Пространство и время
139
держащей как отражение времени, так и пространственную инверсию, ничем не
отличается от проделанного в § 5 перехода от группы 3* к группе 5>s.
Другими словами, мы просто можем объединить формулы § 5 с теми, которые
получены в этом параграфе для оператора Г. Вид преобразований,
соответствующих новому элементу ГТ (I), следует из формул преобразований
для операторов Г и Т(1).
§ 8. ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ И ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
На протяжении всей главы мы изучали неприводимые представления группы
Пуанкаре. Это позволило нам установить трансформационные свойства
функции, принадлежащих пространствам каждого из этих представлений.
Постулат пуанкаре-инвариантности законов природы позволил нам
интерпретировать параметры, задающие неприводимые представления группы
Пуанкаре, как инвариантные свойства частиц-массу, спин. Анализ свойств
элементарных частиц позволил нам связать с каждой частицей неприводимое
представление группы Пуанкаре, подобно тому как в нерелятивистской теории
каждое решение стационарного уравнения Шредингера мы связывали с
некоторым представлением группы симметрии гамильтониана. Однако мы
никогда не занимались построением волновых функций в явном виде. Мы
придерживались везде той точки зрения, которая была принята при анализе
группы Я3, а именно, что свойства базисных векторов пространства
представления D('> можно установить, не рассматривая конкретных выражений
для этих векторов. При таком подходе результаты оказываются столь общими,
что их можно применять к любой сфери-чески-симметричной системе.
Например, функции вида | jmy имеют одинаковые свойства по отношению к
вращениям независимо от того, относятся они к одной или к нескольким
частицам. Но в случае одной частицы можно найти явный вид зависимости
волновой функции от углов. Для этого надо воспользоваться
дифференциальной формой инфинитсзимальных операторов вращений. Тогда
оператор Казимира будет дифференциальным оператором. Решения уравнения на
собственные значения для этого
140
Глава 15
оператора дают базисные волновые функции | jm> неприводимых представлений
группы 913.
В данном параграфе мы сначала детально разработаем сделанные выше
замечания, относящиеся к группе ИЯ3, а затем, перенеся те же соображения
на евклидову группу и группу Пуанкаре, выведем известные уравнения
Клейна-Гордона, Дирака, Вейля и Максвелла. Если ограничиваться случаем
