Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Е = Мс2 (1 + р2/М2с2)'/." М2С + р2\Ш. (15.95)
Последнее выражение дает энергию в виде суммы энергии покоя и
кинетической энергии p2/2M = 1/2Mv2.
122
Глава 15
Различные векторы | ksms> пространства представления р(*>J> соответствуют
разным соостояниям движения частицы (или системы) с массой M = hkjc. Не
только направление импульса р = ^к, но и его величина могут быть любыми,
а соответствующая энергия дается формулой (15.94). Таким образом, даже
при s = 0 представление р(*> о) 0ПИсывает все возможные состояния
движения частицы с массой М. Вскоре мы увидим, что параметр s связан с
внутренним угловым моментом, т. е. спином, системы или частицы.
Прежде чем переходить к случаю нулевой массы, рассмотрим кратко
представление, отвечающее случаю к=0 - области б (§ 4, п. Б). Это
представление отвечает не только нулевой массе, но и нулевым импульсу и
энергии во всех состояниях, т. е. во всех системах отсчета. Объект с
такими свойствами никогда не наблюдался *), и мы не будем останавливаться
на этом случае. Заметим, однако, что точку к = 0 следует исключить при
рассмотрении представления р(0'т>.
Обратимся теперь к представлению р10'(r)*, соответствующему нулевой массе.
Оно выглядит не очень подходящим для описания частицы, но мы замечаем,
что в этом случае энергия и импульс могут быть конечными; из формулы
(15.94) следует, что они связаны соотношением
Е = рс. (15.96)
Таким образом, несмотря на нулевую массу, наш объект обладает некоторыми
физическими свойствами, и на самом деле такие частицы хорошо известны в
физике. При квантовом описании электромагнитного поля взаимодействие
происходит благодаря обмену фотонами, которые должны иметь нулевую массу.
Также и в процессе |3-распада испускаются частицы, называемые нейтрино2),
с нулевой массой.
В то время как для частицы с конечной массой возможно состояние с р = 0 и
Е - Мс2, в котором частица покоится, для частицы с нулевой массой такое
состояние
J) Представление Р<°. °> соответствует вакууму.- Прим. перев.
2) При Р-распаде нейтрона испускается антинейтрино.- Прим. перев.
Пространство и время
123
невозможно. Мы не можем получить состояние с р = 0, не достигнув
предельной точки к = 0, которая характеризует уже другое представление. В
этом представлении, как говорилось выше, все состояния имеют импульс и
энергию, равные нулю. С точки зрения классической механики это означает,
что частицы с нулевой массой движутся со скоростью света с, поскольку,
как мы видели в § 2, п. В, в этом случае скорость частицы равна скорости
света в любой системе отсчета и состояние покоя невозможно. [Другой довод
классической механики в пользу того, что v - c, заключается в том, что
при нулевой массе частица может иметь конечную энергию и конечный импульс
лишь в предельном случае v = c, см. формулу (16.10).]
Б. Спин
Мы рассмотрели связь между первым оператором Казимира Р Р и массой, а
также между компонентами оператора Р и энергией и импульсом. Обратимся
теперь ко второму оператору Казимира-оператору W-W, определенному в § 4,
п. В. Интерпретация оператора W-W оказывается неодинаковой в случаях
нулевой и ненулевой массы, а потому эти случаи мы рассмотрим отдельно.
Конечная масса
Рассмотрим сначала случай конечной массы, который описывается
представлением Напомним, что вели-
чина s, которая может принимать значения 0, 1/2, 1, 3/2, ..., определяет
собственные значения оператора
W-W, равные при данном k, согласно формуле (15.74), - &2s(s-fl). С учетом
формулы (15.94) эти собственные значения можно записать в виде
-Mc2s(s+ 1)Д2. (15.97)
Так как оператор W-W является оператором Казимира, все состояния,
принадлежащие представлению Р1*'s>, являются собственными для этого
оператора и соответствуют одному и тому же собственному значению. Сле-
124
Глава 15
довательно, величина s, как и масса, есть некоторая внутренняя
характеристика частицы, не зависящая от системы отсчета.
Мы будем называть эту внутреннюю характеристику спином. Строго говоря,
спин равен hs, так что s-это спин в единицах %. Причина, по которой здесь
употребляется слово спин (вращение вокруг собственной оси), станет ясна,
если рассмотреть операторы У/" в случае покоящейся частицы, т. е. при к =
(0, 0, 0, k). Тогда из выражения (15.72) следует, что
W, = - 1(МсД)Х9 = - {Мс/1ь) ir W( = 0 и
W• W = (М 2c2/fp) (X* -f Х2у + XI) = - (М2c2/fi2) Р. (15.98)
Таким образом, если частица покоится, то оператор V/ пропорционален
оператору углового момента Jr Угловой момент покоящейся классической
точечной частицы равен, конечно, нулю, а поэтому для параметра s более
подходящим было бы название "внутренний спин"1). Далее, так как оператор
W т рансляционно-инвариантен, при действии на базисный вектор |ks"rs>
пространства представления Р<й's) он не может изменить'параметра ?.
Следовательно, оператор W просто изменяет величину ms, оставляя вектор к
неизменным. Заметим, что базис | кsmsy выбран таким образом, что векторы
вида j k0smsy являются собственными для оператора Wz:
