Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Симметрия в кристаллических твердых телах
ЗАДАЧИ
14.1. Покажите, что объем зоны Бриллюэна равен (2rifjvc, где vc- объем
элементарной ячейки.
14.2. Покажите, что любой вектор km, удовлетворяющий уравнению' (14.16),
является вектором обратной решетки.
14.3. Покажите, что уравнение парабол, изображенных на рис. 14.4' и
соответствующих приближению свободных электронов, таково:
О %2 (/'2пп1 . \2 (2 пп2 ... VI
Ёп1п1(Ь)=Ш\{ - +кх) +{-+k")
где пг и п2-целые числа.
14.4. Изобразите зону Бриллюэна для плоской квадратной решетки в двух
измерениях, имеющей группу симметрии Civ. Отметьте на ней шесть видов
особых точек, в которых малая группа-вектора к нетривиальна. Какова малая
группа в каждой из этих точек? Постройте таблицу соотношений совместности
для неприводимых представлений вектора к, лежащего на оси х на рис.
14.10, в предельных случаях и k-^n/a.
14.5. В § 4, п. А была использована теория возмущений для вырожденного
уровня при построении волновых функций, а следовательно, и энергий на
границе зоны в модели почти свободных электронов. Примером состояний,
преобразующихся неприводимо под действием малой группы в этой точке,
служат четные и нечетные волновые функции. Рассмотрите двумерную-
квадратную решетку из предыдущей задачи и проведите аналогичное
вычисление, используя четыре вырожденные плоские волны, соответствующие
вектору к = (± я /о, ± л/а). Все эти-функции имеют одинаковый приведенный
вектор к,"соответствующий одной из особых точек зоны. Малая группа в
каждой такой точке-это полная группа симметрии Civ. Вычислив характер
представления, порождаемого четырьмя эквивалентными плоскими волнами,
покажите, что вырожденное состояние может расщепиться на дублет и два
синглета. Используйте при этом-проекционные операторы для построения
собственных состояний. Вычислите для этих состояний энергии почти
свободных электронов в первом порядке по V (г).
14.6. Покажите, что произведение Р (n) R,-P (-п) соответствует повороту
на тот же угол, что и при операции R/, но вокруг точки п.
14.7. Покажите, что если qt-порядок малой группы вектора к, а-g- порядок
полной точечной группы, звезда вектора к содержит g/gi векторов.
14.8. Покажите, что при операциях, входящих в малую группу, три
блоховские функции [формула (14.82)] преобразуются так же, как и атомные
p-функции с центром в начале координат.
15
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
Значительная часть нашей книги посвящена пространственным симметриям.
Насколько известно, пространство является однородным в том смысле, что
эксперимент в одной лаборатории дает такой же результат, как и в другой,
и что результат эксперимента не зависит от пространственной ориентации
экспериментальной установки. Это означает, что законы природы инвариантны
по отношению к сдвигам и вращениям, а отсюда следуют законы сохранения
импульса, углового момента и все другие связанные с этой инвариантностью
эффекты, о которых говорилось в предыдущих главах. (Система атомов в
кристалле создает потенциал, который не имеет таких непрерывных симметрий
и инвариантен лишь по отношению к конечным сдвигам и вращениям, как
говорилось в гл. 14.) Время тоже считается однородным в том смысле, ¦что
эксперимент, проведенный сегодня, даст тот же результат, если его
повторить, скажем, завтра. Из инвариантности относительно сдвигов во
времени следует закон сохранения энергии. В уравнении Шредингера, из
которого мы до сих пор исходили, учитывается такая инвариантность. Теория
относительности Эйнштейна возникла на основе представления о том, что
пространству и времени присуща более глубокая однородность, что законы
природы инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца, которые
действуют в четырехмерном "пространстве" пространства-времени.
Преобразования Лоренца включают в себя как частные случаи
пространственные вращения, пространственные и временные сдвиги. В новой
теории естественным образом возникает понятие массы покоя частицы, и
оказывается, что уравнение Шредингера не инвариантно относительно
преобразований Лоренца. Для того чтобы эта инвариантность имела место,
необхо-
Пространство и время
65
димо внести существенные изменения как в классическую, так и в квантовую
механику. Правда, эти изменения существенны лишь при скоростях, близких к
скорости света (т. е. порядка ЗЛО3 м/с). Таким образом, для большинства
классических и квантовых эффектов, касающихся структуры атомов, молекул и
ядер, релятивистские поправки малы. В данной главе мы рассмотрим группы,
связанные с преобразованиями Лоренца, и выясним, каким образом
представления этих групп связаны с физическими величинами. Несобственные
вращения, появляющиеся при учете пространственных отражений, также моп т
быть включены в четырехмерную теорию наряду с операцией обращения
времени.
Понятие четырехмерного пространства вводится в §2, где мы определяем
группу Лоренца. Сдвигам в четырехмерном пространстве и группе Пуанкаре
посвящен § 4. Несобственные преобразования, включающие отражения
