Симметрия в физике Том 2 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вырождение между состояниями с различными направлениями намагниченности
внутренне присуще взаимодействию V, которое обладает вращательной
инвариантностью. В реальном кристалле анизотропия снимает это вырождение;
она проявляется в добавлении к V слагаемых, нарушающих вращательную
инвариантность.
Симметрия в кристаллических твердых телах
49-
Оператор в формуле (14.64) называется оператором-рождения магнона и
обозначается через а?:
ак = о)Т2ехР (ik-p)Sp-,
р
где оЛГ-нормировочный множитель. С помощью такого оператора можно
получить и двухмагнонное состояние
ф = а?а?|0>.
Это не совсем точное собственное состояние, но ошибка имеет порядок 1/N,
где N-число (обычно большое) атомов в кристалле. С такой же точностью
операторы рождения и уничтожения магнонов подчиняются перестановочным
соотношениям Бозе'-Эйнштейна (гл. 19, § 1; гл. 6, § 3, п. А), так что
можно говорить о состоянии, в-котором имеется магнонов с волновым
вектором к. Каждый магнон несет энергию возбуждения, даваемую формулой
(14.65).
§ 7. ЭКСИТОНЫ В ДИЭЛЕКТРИКАХ (ЭКСИТОНЫ ФРЕНКЕЛЯМ
В простых диэлектриках, например в твердой фазе инертных газов, где
отсутствуют валентные электроны, перекрытие атомных волновых функций
действительно очень мало. Поэтому в очень хорошем приближении можно
считать, что в основном состоянии имеются отдельные электроны, занимающие
атомные орбитали отдельных атомов. Как и в случае спиновых волн, можно
попытаться построить возбужденные состояния, переводя электрон данного
атома в более высокое незанятое орбитальное состояние. Однако и здесь мы
вновь вынуждены производить операцию проектирования при построении
состояния с определенным к.
Пусть ф - многоэлектронное основное состояние атома, а ф'-возбужденное
состояние, полученное из ф путем перевода электрона на более высокую
орбиталь; далее, пусть фр и фр-соответствующие волновые функции для
данного узла р. Для всего кристалла в целом соответствующее основное
состояние будет иметь вид
^°=Пфр,
Глава 14
а состояние с возбуждением на узле р-вид
Тр = "р'рПфч. (14.66)
ЯФГ
Тогда полученное в результате проектирования состояние с правильной
трансляционной симметрией k, называемое экситоном, дается выражением
Y'kK,c = 2exp(ik-p)1Fp|. (14.67)
р
Отметим отличие от модели сильной связи, где состояния, которые мы
строили, были одноэлектронными. Таким образом, экситон с волновым
вектором к-это возбуждение, распространяющееся по кристаллу (но,
разумеется, не переносящее заряда). Энергия этого возбуждения зависит от
вектора к, но лишь в небольшой степени; она примерно равна энергии
атомного возбуждения."4
§ 8. ПРАВИЛА ОТБОРА;)ПРИ| РАССЕЯНИИ
Правила отбора для процессов рассеяния в кристаллах можно вывести
непосредственно из простого выражения
(14.15) для произведения представлений. Например, если мы
рассматриваем рассеяние электрона в кристалле (электрон-фононное
рассеяние), то вероятность рассеяния из состояния с волновым вектором к в
состояние с волновым вектором к' вследствие поглощения фонона с волновым
вектором q будет зависеть от матричного элемента, который равен нулю,
если только произведение представлений T<q>0T(k) не содержит
представления Т(к'>. Согласно формуле (14.15), это означает, что
k' = q + k + Km. (14.68)
Рассеяние с Кт = 0 обычно называется прямым, а с Кт^О-рассеянием с
перебросом. Равенство (14.68) часто называют законом сохранения
квазиимпульса в кристалле. В процессе рассеяния должна сохраняться и
энергия, так что выполняется еще и соотношение
^coq -f e(k) = e(k'). (14.69)
Аналогичные соотношения справедливы и для других процессов рассеяния:
электрон-магнонного, магнон-фонон-ного, электрон-фононного, фонон-
фононного, магнон-экси-тонного.
Симметрия в кристаллических твердых телах 51
§ 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
В предшествущих параграфах данной главы были рассмотрены следствия
трансляционной симметрии в кристаллах. Однако бесконечный кристалл может
быть также инвариантным относительно одной из конечных точечных групп
поворотов, собственных или несобственных, причем в качестве неподвижной
точки может быть выбран любой узел кристалла (гл.9). Например, такая
инвариантность может иметь место, когда базисные векторы решетки а,-
расположены симметрично относительно друт друга. Рассмотрим далее группу
полученную объединением элементов Р (п) группы трансляций ?Г с элементами
R,-точечной группы поворотов вокруг одного из узлов решетки, который мы
возьмем за начало координат.
Общий элемент группы записывается в виде {R,-, п} и определяется своим
действием на произвольный вектор:
(R., n}r = P(n)R,r = R/r-l-n. (14.70)
Чтобы убедиться в том, что все такие элементы удовлетворяют групповым
постулатам, нужно из равенства (14.70) вывести закон умножения:
{R/, m}{R" n} r = {Ry, m}(R,r +n) = R/(Rir + n)4-m =
= RyR/Г + Ryn -f m = {RyR,-, Ryn -J- m} r,
так что
{Ry, m}{R" n} = {R,R" Ryn + m}. (14.71)
Поскольку решетка инвариантна относительно действия точечной группы,
