Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
элементы Ск и С^к принадлежат одному классу. Все отражения входят в один
класс, если п нечетно, но при четном п они разбиваются на два класса. Из
общих результатов, приведенных выше, следует, что группы Cnv будут
изоморфны группам, полученным умножением несобственных элементов
(отражений) на инверсии. Эта операция дает оси вращения второго порядка,
перпендикулярные осям вращения п-то порядка; следовательно, группы Cnv
изоморфны группам Dn и обладают тем же разбиением на классы. Например,
для группы Ciu классами будут являться Е, 2С4, Q, 2av, 2а', а классы
группы C5v таковы: Е, 2С5, 2С|, 5ав.
264
Глава 9
Группы Dnh
Для этих групп отражение в плоскости ah коммутирует со всеми элементами
Dn, так что эти группы можно записать в виде прямых произведений Dnh=Dn
XSt. При четном п в группы входит инверсия и их можно записать в ином
виде: D2mh=D2m X S2. В любом случае разбиение на классы просто связано с
таким же разбиением групп Dn: для каждого класса из группы Dn имеется два
класса из группы Dnh. Так, например, классами для группыD3h являются Е,
ah, 2С3, 2S3, ЗС2, 3ov(=C2oh).
Группы Dnd 2
При нечетном п имеется ось второго порядка, перпендикулярная каждой из
вертикальных ^плоскостей отражения, так что группы содержат инверсию и
могут быть записаны в виде D2m+id=D2m+1xS2; соответственно этому их
разбиение на классы следует из разбиения групп D2m+i• При четном п
инверсия не входит в группы Dnd, но, умножая несобственные элементы на
инверсию, мы получаем дополнительные оси второго порядка, лежащие в
вертикальных плоскостях отражения; следовательно, группа переходит в D2n.
Таким образом, при четном п группа Dnd изоморфна группе D2n п имеет
одинаковое с ней разбиение на классы. Например, для группы D2d имеем
классы Е, 2S4, С2, 2С2, 2od, а для группы D3d - классы Е, I, 2С3, 2S3,
ЗС2, 3od.
Группа Td
По определению группы Td, данному выше, она разбивается на классы Е, ЗС2,
8С3, 6о и 6S4, поскольку оси третьего порядка группы Т становятся теперь
двусторонними.
Группы Th, Oh u Yh
Все эти группы содержат инверсию и потому являются прямыми произведениями
групп Т, О и Y с группой S2. Их разбиение на классы непосредственно
следует из соответствующего разбиения групп Т, О, Y.
Точечные группы и их применение
265
§ 5. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Одна из основных областей применения теории точечных групп -
кристаллические твердые тела, в которых расположение атомов может быть
инвариантным относительно операций точечной группы. Лишь немногие из
групп, перечисленных в § 3, могут быть привлечены к исследованию таких
тел, и целью данного параграфа как раз и является отыскание так
называемых "кристаллографических точечных групп". Кристалл представляет
собой периодическое повторение в пространстве одного или нескольких
атомов. Для математического описания кристалла введем некую
пространственную решетку как совокупность точек
где щ, п2, п3 - целые числа, а а1( а2, а3 - фиксированные векторы
элементарных частиц из данной точки решетки в соседнюю. Тогда в кристалле
с каждой точкой введенной нами решетки будет связана некая система атомов
с определенной взаимной ориентацией, называемая его базисом. Рассмотрим
сначала все возможпые элементы симметрии пространственной решетки и
убедимся в том, что реально возможны лишь некоторые точечные группы.
Затем мы перейдем к вопросу о связи между группами симметрии решетки и
кристаллографическими точечными группами.
Чтобы вращение R оставляло решетку инвариантной, оно должно переводить
каждую точку решетки п в другую точку той же решетки ш; покажем, что это
налагает ограничения на возможные углы поворота. Напишем
Очевидно, что можно записать трехмерное матричное представление операции
вращения R, переводящей точку п в точку т:
п = и1а1 + п2а2 + п3а3,
(9.6)
Rn = т = туа1 + т2а2 + то3а3.
(
Рассмотрим частный случай, когда п2~п3=0, rei = l. Мы видим, что mp=RPi,
т. е. RPl - целое число. Анало-
266
Глава 9
гично, полагая п1=п3=0, п2-\ и т. п., получим, что ЯРг и RPs также
являются целыми числами. Следовательно, след матрицы R также должен быть
целым числом. Производя затем преобразование подобия к декартову набору
базисных векторов, мы оставляем след инвариантным и по-прежнему
целочисленным. Однако в декартовом базисе оператор поворота вектора на
угол ср имеет след, равный l-|-2cos(p [формула (4.6)]. Стало быть,
единственно возможные значения углов ф таковы: 0°, 60°, 90°, 120° и 180°,
так что оси симметрии пятого порядка и более шестого порядка исключаются.
Аналогично для несобственного вращения S (ф) след равен 2 cos ф-1 и тоже
должен быть целым числом, так что угол ф принимает те же возможные
значения. Пространственная решетка, определенная равенством (9.6),
очевидно, обладает инверсионной симметрией; если она содержит при этом
ось вращения n-го порядка с н>2, то для нее будут существовать также п
"вертикальных" осей зеркального отражения. Если совместить эти условия,
