Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
является группа D^h.
Неприводимые представления группы C^v можно построить из неприводимых
представлений подгруппы .%2-Если ет - базисный вектор, принадлежащий
представлению T(OT> группы Э12 [например, функция ехр(йшр)], то отражение
в вертикальной плоскости преобразует его в вектор е_т, принадлежащий
представлению Т(_т). Таким образом, при тф0 неприводимые представления
группы C^v являются двумерными с характером
%ш(а) = exp (ima) -f- exp (- ima) == 2cos та
для вращений и характером у)т)=0 для отражений (в последнем случае
отсутствуют диагональные матричные элементы). В особом случае, когда т=0,
отражение преобразует е0 в другой вектор е", также соответствующий
значению т=0. Если её отличается от е0 скалярным множителем, то,
поскольку о"=1, отражение должно иметь характер ±1- К тому же выводу
можно прийти, если е0 и во вообще независимы, поскольку в этом случае
можно образовать две комбинации е0±ео, которые имеют при отражениях
характер ±1- Итак, при т-0 имеется два одномерных неприводимых
представления. Эти результаты сведены в табл. 9.3.
Таблица 9.3
С
Е
2 R (а)
v
А+
1
1
2
1
1
2 cos та
1
-1 0
270
Глава 9
§ 7. ДВУЗНАЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП
В гл. 7 мы познакомились с двузначными представлениями группы 5?3; о них
говорилось в гл. 7, § 6, а также в гл. 8, § 4 в связи со спином.
Поскольку точечные группы являются подгруппами группы 5?3, можно ожидать
необходимость двузначных представлений также и для точечных групп. В гл.
7, § 6 мы указали особый прием - интерпретировать двузначные
представления как однозначные представления двойных групп в случае группы
Яв-
Применим теперь тот же прием для точечных групп. Напомним, что двойная
группа состоит из обычных вращений R, дополненных новыми элементами ER,
где Е - поворот на угол 2л вокруг любой оси. Единичный элемент Е
связывается теперь с поворотом на угол 4и, так что Е2 = Е. Новый элемент
Е коммутирует со всеми вращениями.
Таким образом, если задана точечная группа Ъ с элементами Ga, то
соответствующая точечная группа g строится путем введения новых элементов
EGa, которые в дальнейшем обозначаются через Ga. Если группа содержит
вращение Сп, то
С" = Ё, = Е, С" = ЁС".
В отличие от группы 5&3 методы, использованные в гл. 4 для вывода
неприводимых представлений конечных групп, основывались на соотношении
(4.1) и потому не приводили ни к каким двузначным представлениям.
Используем теперь для их нахождения понятие двойной группы. Двойная
группа будет иметь представления двух типов в зависимости от знака в
соотношении х(^а) = =±%(Ga). (Это соотношение можно доказать следующим
образом. Поскольку элемент Е коммутирует со всеми элементами группы, по
лемме Шура он должен быть кратен единичной матрице в любом неприводимом
представлении. С учетом того, что Е2=Е, соответствующий множитель должен
быть равен ±1.) Представления, соответствующие знаку плюс, являются,
очевидно, однозначными представлениями группы поскольку новый элемент Е
имеет ту же матрицу, что и единичный элемент. Дву-
Точечные группы и их применение
271
значные представления группы Ъ будут совпадать с теми представлениями
группы $, для которых в указанном соотношении стоит минус. Для
определения числа таких представлений и таблицы их характеров, будем
следовать общим методам гл. 4 применительно к группе Прежде всего
необходимо найти число классов, совпадающее с числом неприводимых
представлений. Зная таблицу характеров однозначных представлений, мы
сможем затем непосредственно достроить и всю остальную таблицу, используя
ортогональность и другие методы, согласно изложенному в гл. 4.
Структура классов собственных двойных групп легко выводится из
соответствующей структуры исходных точечных групп. Поскольку элемент Е
коммутирует со всеми элементами, он образует отдельный класс. Каждому
классу поворотов на угол 2я/га (пф2) соответствуют два класса поворотов в
двойной группе, обозначаемые через Сп и Сп. В особом случае поворотов на
угол я элементы С2 и ЕС2=С2 окажутся сопряженными (т. е. принадлежащими
одному классу), если ось - двусторонняя, т. е. если имеется элемент
группы, меняющий направление оси второго порядка на обратное). В самом
деле, вращения R(±0) вокруг двусторонней оси являются сопряженными, так
что, в частности, сопряженными являются и вращения R(±n). Однако в
двойной группе эти вращения уже не являются идентичными, но R (-n)=R(3n),
так что R(n) - элемент, сопряженный с R(3n). Иными словами, С2 и ЕС2
принадлежат одному классу.
В качестве примера рассмотрим собственную группу П4. Группа Di состоит из
классов Е, CJ, 2С4, 2С2, 2С2. Как показано выше, новые элементы ЕС2 лежат
в том же классе, что и С2, так что группа Z>4 состоит из классов Е, Е,
2Q, 2С4, 2С4, 4С2, 4С2. Добавление двух новых классов означает также
добавление еще двух неприводимых представлений, характеры которых
удовлетворяют соотношению %(Ga) =-х((r)о)- Отсюда следует, что для
двусторонней оси второго порядка характер должен быть равен нулю. Можно
