Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (85.6) электромагнитная сила F ' есть ии-теизор, в то время как F^ есть только ко-тензор, я F F*'' — ко-иивариант.
86. Инвариантность относительно калибровки 3SI
Преобразуя трехзначковый симиол о] изменением масштаба, мы получим по (85.41)
и.]'-4(^4-^
^ V ох ' dx ox J
\ i [A Z /
л , і да*) , і <?(^2) і д(щ
= '-2[Р,°] -Ь ‘9 -&Г ~r 2 9~дхГ ~ 2 ох~'
V- - <4
w дг?
плі в силу (85,51), полагая о =—--
‘V- ах’
у.
Л2 [fXV, а] 4- Х2 (g^Cpv -L д^ _
.Умножая обе стороны на д'т = Х~2 Мы получим
К а}' = {<,v, «} -I + 9І?11 _ ^y. (86 _)
Положим
S {|XV,«} X4 - д « ^ + v-/; (g6 _ 2)
тогда по формулам (86.1) и (85.52)
{jj.v, a}' = (86.3)
«Обобщенный трехзначковый символ» <*} обладает, следовательно, свойством <шн», т. е. He изменяется при преобразовании калибровки. Ho, разумеется, он не является тензором.
В дальнейшем мы будем обозначать звездочкой впереди (*) обобщенные величины, соответствующие каким-либо выражениям в геометрии Риманна и не зависящие от системы калиброовки (или ковариантные ей). Следующий при мер иллюстрирует общий метод нахождения таких величин.
Пусть симметричный ин-тензор. Его расходимость (51.31) при преобразовании калибровки изменяется следующим образом:
К- = JTjfej яг К л‘ v=i) і or" а->) (^) =
И-
— —--S- (4V V—~g) - Ae9 I
У—ддхч К *V 9> 2Л дх +
Sj-
, I d\* 1 «р I d\*
¦+¦ "Х* Sxi 2 д°?}2 дх^ — + 4^' ,
”3,
если положить ^ = Л.
382
Геометрия мира
(?6.4)
не меняется при преобразовании калибровки в поэтому представляет собой ин-вектор.
Эта операция может быть названа ин-ковариантным дифференцированием, а результат ее есть ин-расходимость.
Результат изменяется, если Altv является ин-тензором, так что A1 есть ко-тензор. Различные сопряженные тензоры не имеют в геометрии Вейля одинакового значения, так как только один ИЗ них может быть ин-тензором.
В дальнейшем, при отсутствии особых оговорок, последний значок будет обозначать обыкновенное ковариантное (а не ин-кова-риантное) дифференвирование *).
*) Выведем еще дифференциальные уравнения параллельного переноса в дополнение к замечаниям п. 85. Естественно принять в качестве обобщенной ковариантной производной ин-вектора A^ обобщение варажения
Тот факт, что это выражение, очевидно инвариантное относительно калибровки, в то же вреия представляет собой обычный тензор, следует, в силу (86.2), из следующего равенства
Если теперь мы определим, как и в п. 33 параллельный перенос A^ в геометрии Вейля из того условия, чтобы Mltv прн этом обращалось в нуль, то точно так же, как и при выводе формулы (33. 3)^для приращения при
прохождении бесконечно малого замкнутого пути, ограничивающего площадку dS™, получается выражение
где *А н Mltjv означают вторые ковариантные производные от . Точное повторение вычисления, сделанного в начале п. 34, дает для ’Л. —
выражение, аналогичное (34.3),
ол - j
(29.3) A^ = -^ -Ih-V, Aat
д\
а именно: выражение
составляется из символов
{(iV, а} (ср. (34.4).
точно так же (ср. (87.1) ), как
(Я.)
87. Обобщенный тензор Риманна—Кристоффеля
383
87. ОБОБЩЕННЫЙ ТЕНЗОР РИМАННА—КРИСТОФФЕЛЯ.
Аналогично формуле (34.4) положим
'bI-* = ~'' дт~ 1 S і ^ “ } I av> ? I + jT^T >°> “}->*» aS >°> ?}
(87.1)
Это выражение является ин-тензором, так как символы со звездочками не зависят от калибровки. С другой стороны, из формулы (87.4), которая будет выведена немного ниже, мы увидим, что такое обобщение не уничтожает свойств обычного тензора.
Рассмотрим первые два члена. Из них сразу можно получить затем полное выражение, если переставить v и о и произвести вычитание, что можно проделать или на каждой ступени вычислений, или в. результате. Добавочные члены, появляющиеся благодаря наличию звездочек, имеют в силу (86 .2) следующий вид:
[Чтобы иметь возможность проследить за деталями этого преобразования, перенумеруем отдельные члены выражения (87.2) по порядку от 1 до 19. Тогда мы увидим, что члены, имеющие
— ( — 9І \ — 9' \ + 9^ * ) + (”".< — 9І \ +
а
+ Sw, * ) { av> ? } + С — 9\ \ — 9* '¦* + 9„ О {н-о, «} +
+ ( — 9І — 9І \ + 9^ х") ( — 9І \ — 9І \ -f »*) =
-Jr х х — д х Xs— д х х — д а* х* х -4- q х Xs, (87.2)
I Ji.? *7 p. JJ.iT V >7 у.0 •-'М « I ^ JJ.T V 9 \ '
а это эквивалентно выражению
Q Ч- (х ) ~ 9 (*е) Ч” 9 х х — 9* 9 у. Xa 4-
IL ()х Vt /а I i7V p. a i7M ^ у.з a I
s
f в -4- q x % .
I V
(87. 3)
384 Геометрия мира
следующие нумера или следующие пары членов, симметричны относительно VHOH поэтому выпадают, когда мы произведем указанную перед формулой (87.2) операцию: 5 и 8, 6, 11 12 и 14, 13 и 17, 16. Далее, 4 и 10 вместе дают — [vo, р.] хЕ, а это выражение можно отбросить по той же причине. Члены 2 и 9, будучи
сложены, дают д\ (* )„• Наконец, переставим 7 с соответствующим ему членом—д |ао, е} х“, стоящим во второй половине полного выражения, и сложив это выражение с 3, получим —
Поэтому перестановка v и о и вычитание приводят к следующему полному выражению
