Теория относительности - Эддингтон А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, если (2 (г — т) будет некоторой величиной, сопоставленной источнику P' в момент (г — ¦:), то мы получим
I - dx - d F(t т)
It f(t — z) da da ’
если Г = (7492) Значение т, которое нужно взять при вычислении запаздывающего потенциала, получается из условия совпадения Q с Pt т. е. при а = 0. Поэтому имеем
где квадратные скобки указывают на то, что значение выражения в скобках нужно взять в момент времени t — т.
Если мы запишем уравнение (74.91) в виде (t—x) = (t — a)—f(t - т), то формула Лагранжа, для разложения неявных функций, если принять во внимание (74. 92), дает
F(t — z) = F(t — a) — F'(t — a) — —
OO ІЇп—\
“2 ЇЙ {/(i-«)r) = F(*-a) + ?(f-«) +
2
+Ё ш {/('—и-1)-
2
Подставим это разложение в (74.93) и примем во внимание, что д д
— = — — ; в таком случае мы получим:
CO
- т-- ± ч (о ¦+ S Ifw і”-»-
.г( 1—®г) .
Поэтому окончательно получается
?
/•(1 —®г) .
-T-S+ShfffP-»). «*«•«>
г dt ^ п\ dtn 2
где в правой части г и tp нужно взять в момент U
Теория относительности. 22
Электричестве
74а. ВТОРОЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТЕРИ ЭНЕРГИИ ВРАЩАЮЩИМСЯ СТЕРЖНЕМ.
Воспользуемся теперь вычислениями предыдущих параграфов для рассмотрения поставленной в п. 59а задачи новым методом, при котором мы вообще не заботимся о судьбе потерянной энергии и который представляет особый исторический интерес.
Если гравитационные волны не распространяются мгновенно, то обусловленное этим запаздывание может привести к возникновению касательных составляющих силы, так что получается пара сил, стремящаяся замедлить вращение. Лаплас предполагал, что если бы гравитационные волны распространялись со скоростью света, то возникающая при этом замедляющая пара сил имела бы порядок величины, допускающей возможность наблюдения в астрономических системах. В виду отсутствия этого эффекта он заключил, что тяготение распространяется во всяком случае со значительно большей скоростью. В настоящее время мы знаем, что ожидавшиеся Лапласом эффекты первого порядка сокращаются и что потеря энергии, определяемая формулой (59. 9а), представляет собой действительно остаток эффекта Лапласа, который по новой теории оказывается эффектом 3-го порядка. Стержень останавливается потому, что, при конечной скорости распространения от одного конца к другому, гравитационные действия его отдельных частиц направлены не в точности вдоль стержня, так что образуется пара сил, которая в конце концов приводит к остановке стержня, или,, короче говоря, потому, что действие и противодействие не в точности равны и противоположно направлены. Излагаемый в дальнейшем новый вывод результата (59 . 9а), несколько более короткий, чем прежнее доказательство, основывается именно на этом представлении.
Проинтегрируем по трехмерной области, охватывающей стержень, формулу (55 . 6) прн [А = А.
дх 2 dt
V
При мы получаем
74а. Потеря энергии вращающимся стержне.
339
так как остальные члены в левой части дают поверхностные интегралы, обращающиеся в нуль, ибо на границе области нет материн. Уравнение (74.1а) дает скорость изменения материальной энергии области, т. е. стержня, потому что последний представляет собой единственную материальную систему в области.
Og ,
Для вычисления значений в (74. 1а) воспользуемся урав-
нением (57.7).
1
¦ 2 G
16-
(74. 2а)
Мы уже изучали решение этого волнового уравнения в п. 74 (d). Из (74.71) следует
1
ClV'.
(74. За)
(1-0
Квадратные скобки означают, что выражение в них надо взять в соответственно выбранный предшествующий момент времени, или, иначе говоря, что речь идет о «значениях, отсчитываемых назад», г есть расстояние между движущимся источником dV' В ЭТОТ момент и точкой, в которой вычисляются A0^; наконец, Vr есть составляющая скорости dV' по направлению к точке наблюдения. Хотя здесь окая;ется нужным сохранить и высшие степени скорости в коэффициентах периодических членов, однако мы моясем не принимать во внимание фицджеральдов-ский множитель (3, который, собственно говоря, должен был бы входить в качестве постоянного, не зависящего от времени множителя. Точно так же мы моягем в формуле (74.3а) заменить Tap на так как при этом мы пренебрегаем квадратами и произведениями величин Ila^ по сравнению с их первыми степениями.
Из (74.1а) и (74.3а) для уменьшения энергии стержня со временем получается выражение
5
•If
dt
г«? 1F д T'
[г (I-Vr) 2 dt Г (I-Vr)
dVdV', (74.4а)
W _ >
так как в рассматриваемом приближении = Т. Это инте-
гральное представление выражает зависимость потери энергии от взаимодействия пар элементов стержня dV, dV'.
Значения квадратных скобок в формуле (74.4а), относящиеся
ае*
Электричество
к моменту t—г, могут быть выражены через значения г a T1 , , в момент I с помощью ряда, выведенного в конце п. 74 *).
гр/ 1 гр/
.
T (! — »г)
где величины, стоящие справа, относятся уже к моменту I.
Пусть теперь стержень вращается в плоскости ху околс своего центра, совпадающего с началом координат, причем пусть в момент t — 0 он направлен вдоль оси х. Пусть dV находится в точке с абсциссой х, a dV' — в точке с абсциссой х'; в таком случае (переменное) расстояние источника dV' от неподвижной точки ж, в которой находится dV в момент і = 0, будет равно
