Прикладная нелинейная оптика: Генераторы второй гармоники и параметрические генераторы света - Дмитриев В.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Из (3.1.31) следует, что кривая синхронизма Р2 (q) имеет гауссовскую форму; ширина кривой синхронизма по уровню половинной мощности есть
(Afe) 1/2 = У In 2 яр0 (3.1.32)
Приближенную оценку интеграла в (3.1.28) при < 1 можно получить на основе представления функции sine2 (Q + X) через функцию Бесселя [sine2 Ф = JtJi/2 (Ф)/Ф], а результат интегрирования через гамма-функцию и обобщенный гипергеометрический ряд (см. [9]). Приближенное выражение для Р2 имеет в данном случае вид
Р2 (/; щ ф 0) е* Р2 (/; ц1==0) Г1 —(n?/6) + (nf/30)]. (3.1.33)
Из (3.1.33) следует, что при ~ 1 мощность второй гармоники уменьшается за счет неоднородности среды примерно на 15%.
На рис. 3.2 представлены кривые синхронизма (зависимость Р2 от Й = Akql/2), рассчитанные по (3.1.28) с ис-пользованием ЭВМ для разных [х*. Видно, что с увеличе-? нием [хх характерные для случая однородной среды боковые максимумы исчезают, кривая синхронизма уширяется и при [Xj > 1 приобретает гауссовский вид; эффективность генерации второй гармоники с ростом |j,1 быстро падает. Таким образом, снимая экспериментальную кривую синхронизма, можно по крайней мере качественно судить о характере и величине неоднородности двулучепреломления,
140
Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
Подставляя (3.1.16) в (3.1.13) и полагая |х2 = 0, получаем выражение для плотности мощности второй гармоники на выходном торце кристалла:
**+*•
— 4 •
= Р2°
8л
X
1 1
X J j ехр Гй (fl + 2 (5—g')j dUV ¦¦
о о
— 4
х*+Уг
СП,
ol РАо е 0 sine2 (Q + 2-^—'). (3.1.34)
я8 \ Ро
Из (3.1.34) видно, что распределение плотности мощности второй гармоники по оси х имеет характер интерференционных полос, накладывающихся на гауссовское распределение. При q = qc имеем ?2 = 0; в этом случае центральный (главный) максимум интерференционной картины соответствует оси пучка. При q Ф q0 главный максимум смещается в точку х — —Йро^ц,!. Исследуя возникающую картину полос, можно найти ?В. Предположим, что на длине d вдоль оси х на торцевой поверхности кристалла наблюда-
3.1. Генерация гармоники в лннейно-неоднородной среде 141
ются N полос, включая главный максимум. Тогда V В можно найти из соотношения (при q = qc)
--------= N + 1. (3.1.35)
Jtp0/2ni
Таким образом,
VB = Xi (N + l)/2/rf. (3.1.36)
Продольно-неоднородная среда. Предположим, что а = = 0 и, следовательно,
н = 0; щ = 4ШЧК (3.1.37)*)
В этом случае выражение (3.1.24) принимает вид
я2(/, д) = *-1Щ- РМ х
cnSl Ро
1 t
J j ехр [й (g-g') ?2 +1 ^ (52-Г)'
X
о о
Интегралы типа (3.1.38) часто встречаются в теории дифракции света; они могут быть выражены через интегралы оши-* бок или интегралы Френеля ([9, 10]). Введем новые переменные интегрирования
T = 2?2? + -f^2; r' = 2Qg' + уЦгБ'* (3.1.39)
обозначения
— \ Y2S-2^±fW!l! , (3.1.40)
Двойной интеграл в (3.1.38) есть произведение двух комплексно-сопряженных интегралов: II*. Можно убедиться,
что < ___
/ = [ф (е-/я/4 ]/^)_ф (е-/«/4 (3.1.41)
где
и
Ф (3.1.42)
1/л v о
*) Строго говоря, при продольной неоднородности среды предполагается выполнение неравенства < jx2> которое при р0 С I может иметь место также при а Ф 0.
142 Гл. 3. Специальные вопросы генерации второй гармоники
1 dt
Рис. 3.3
есть интеграл ошибок. Воспользуемся соотношением
ф (е-;я/4 VD е!‘я/4/У2 = С (у) + iS {у), (3.1.43)
где
— V v /---V v
J cos t2dt\ S(y)=y J sin^2i о о
(3.1.44)
— интегралы Френеля. С помощью (3.1.43) преобразуем (3.1.41) к виду
/ = е-ы14 {[С (Ya)_C (Yl)] + i [S (y2)-S (Yi)]}/ViTa. (3.1.45) Отсюда получаем
II* = {[с (y2) - С Ы? + [5 Ы - 5 (у!)Р}/ц2. и, следовательно,
Яле /2 рз
Pz~ {[C(Y2)-C(Yl)]2 +
cnh Ро 1*2
+ [5(Y2)-5(Vl)]2J. (3.1.46)
На рис. 3.3 представлены кривые синхронизма для разных значений fx2, вычисленные на основе соотношения
(3.1.46) при использовании ЭВМ, Из рисунка видно, во-
3.1. Генерация гармоникй в линейно-неоднородной среде 143
первых, что по мере роста ц2 кривая синхронизма существенно уширяется и может иметь несколько максимумов. Во-вторых, при [i2 Ф 0 максимум выходной мощности смещается в область Q >0; следовательно, для получения наибольшего коэффициента преобразования надо обеспечить соответствующую волновую расстройку в центре пучка на входе кристалла (например, при ц2 = 5,5 оптимальная волновая расстройка отвечает значению Q0пт =-3,5). Мощ* ность второй гармоники на выходе кристалла при 0 = 0 быстро уменьшается при возрастании |i2.
Наблюдаемая картина аналогична интерференционной картине, получающейся при дифракции света на круглом отверстии. Напомним в этой связи, что в центре указанной интерференционной картины возникает темное пятно (пятно Пуассона) [11]. По аналогии с зонами Френеля можно в данном случае рассматривать набор по длине кристалла так называемых зон когерентности, генерирующих волны второй гармоники с разными фазами (соседние зоны генерируют волны в противофазе). Длина т-й зоны когерентности уменьшается с ростом т и ц2. При малых ц2 эта длина оказывается больше длины кристалла /; в этом случае эффективность генерации второй гармоники максимальна. При возрастании |л2 зоны сжимаются, интенсивность второй гармоники на выходе кристалла падает, проходя ряд максимумов и минимумов. Появление этих экстремумов связано с интерференцией волн второй гармоники, генерируемых разными зонами когерентности.
