Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
OO
с(,+1)(и)= J Cqq(u-v)hiq+l)(v)du, -Г<«<7\ (11.4.36)
Многомерный спектральный анализ
263
Взяв преобразование Фурье от (11.4.36), найдем оценочные уравнения в частотной области
C(,+»(fl = C„tf)H(,+1)(f). (11.4.37)
Если в (11.4.37) заменить оценки спектров их теоретическими значениями, то получатся уравнения (11.4.8).
Случайная оценка, соответствующая выборочному спектру остаточных ошибок. Действуя так же, как и в разд. 10.3.2, получаем случайную оценку, соответствующую выборочному спектру остаточных ошибок
СZz(Л ~ C22 (Я + -г I (О ["<,+.> і (Л - , (/)] + ...
¦•• +Xa(f)[Hk+1)q(f)-Hiq+i)q(f)}\2. (11.4.38^ Выборочный спектр остаточных ошибок имеет аналогичный вид
Czz(f) = Q17+I) ((7 + 1)(/) — H(q+\) 1 (/) C((7 + i) і (f) — ...
...-H{q+l)q(f)C(q+l)q(f), (11.4.39)
или
C44 (/.) = C(,+1) <,+,, (/) [l - 4,+D i2... , (/)]• (11.4.40)
Равенства (11.4.39) и (11.4.40) являются соответственно аналогами равенств (11.4.9) и (11.4.10). Однако, как отмечалось в разд. 10.3.2, Ciz (J) тождественно равно нулю, так как выборочный коэффициент когерентности тождественно равен единице. Вследствие этого, а также из-за того, что дисперсии этих оценок не убывают с увеличением длины записи, нужно применить сглаживание.
Сглаженные оценки наименьших квадратов. Уравнения для сглаженных оценок частотных характеристик получаются при замене спектральных оценок в (11.4.37) на соответствующие сглаженные оценки. Аналогичным образом получаются из (11.4.39) или из (11.4.40) сглаженные спектральные оценки остаточных ошибок.
Критерий отличия множественной когерентности от нуля.
Предположим, что в (11.4.38) H(q+\)h = 0, k = 1, 2, q. Тогда процессы на выходе совпадают с соответствующими шумами. Используя (11.4.40), можно написать разложение (11.4.38), но для сглаженных оценок:
vC^ + l) (q + \) (f) Г(<7 + 1) (? + 1) U)
vC
(<7+0 (<7+l)
(f)
(<7+l) (?+1)
(!)
(7+1)12.
(/)) +
, vQg+Q ((7 + 1) (f) -p2 m ... .
+ —-TK- K{q + l) 12... q{f). (11.4.41)
¦ (,+і) (<7+r
U)
264
Глава 11
Равенство (11.4.41) показывает, что случайная величина в левой части, имеющая ^-распределение с v степенями свободы, разлагается на две %2-величины с (v — 2q) и 2q степенями свободы соответственно. Отсюда случайная величина
1 ~~ •^(?+1) 12 ... О (о
распределена как F2g,v~2q- Как показано в разд. 10.3.2 для случая q = 2, формулу (11.4.42) можно использовать для критерия отличия множественной когерентности от нуля.
Доверительные интервалы для функций усиления и фазы.
Чтобы проиллюстрировать общий метод, рассмотрим случай, когда имеются два входа, т.е. q = 2. Тогда, опуская аргумент /, вариант формулы (11.4.38) для сглаженных оценок можно записать в виде
Сzz = z + Cn I H31 — H31|2 + C221 H32 — H32 |2 +
+ 21 C1211 (H31 - H31) (H32 - H32) |. (11.4.43)
Действуя так же, как и в разд. 10.3.4, получим из (11.4.43) совместную доверительную область для G3i, G32, ср31 и ф32:
Cn 1 Яз. - H31 I2 + C221 H32 - H32 |Ч- 2 I C1211 (H31 - H31) (H32 - H32) | <
С 2,S
<^T^v-4(l-a)- О1-4-44)
По-видимому, не существует простого способа записать эту область в виде отдельных областей для спектров усиления и фазы. Однако иногда бывает полезным грубое приближение этой области, состоящее в том, что левая часть в (11.4.44) заменяется ее нижней границей
Сп\Н31-Н31\'+С22\Н32-Н32\^
Это приближение эквивалентно тому, что мы пренебрегаем кова-риациями членов, образующих #3i(f) и H32(f), и поэтому получаются независимые доверительные области для G31, ср31 и для G32, Фз2- Применяя к полученной области дальнейшее приближение, которое мы уже совершали в разд. 10.3.4, находим отдельные
Многомерный спектральный анализ
265
доверительные интервалы:
IG31- G3I <klt
sin I ф31 - ,, k\
Ф31 "31
I G32 — G32 <k2,
Sin I фзо — Фз2 < IT "32
«і =-T-jr-U, v-jU - a).
v-4 Cn
& =---=— f4,v-4(l - a)-
v —4 C22
(11.4.45)
Отметим, что этими интервалами можно пользоваться лишь для очень грубой ориентировки, так как они могут давать ошибочные значения при наличии сильной корреляции оценок двух частотных характеристик.
Смещение и выравнивание. Как показано в гл. 9 и 10, если ряды не выравнены, то при оценивании взаимных спектров появляется заметное смещение, которое переходит в оценки функций усиления и фазы. Это смещение сведется к минимуму, если все входные ряды выравнять по отношению к выходному ряду по модели (11.4.1). Приближение распределения величин, встречающихся в спектральном анализе, с помощью %2-распределения допустимо лишь в том случае, когда произведено выравнивание.
11.4.7. Оценивание многомерных частотных характеристик
В данном разделе кратко описывается оценивание матриц частотных характеристик модели (11.4.21).
Оценочные уравнения. Оценочные уравнения можно получить из (11.4.26), заменяя там спектры на их сглаженные оценки. В результате получим
С?Г(/) = СИ(/)Н'(/). (11.4.46)
Например, при q = 2 имеются две пары оценочных уравнений:
C1Af) = H31 (/) C11 (/) + я32 (Z)C12(Z), C23(Z) = нз, (Z)C21 (Z) + ^32(Z) C22 (Z)
C14(Z) = ^41 (Z) C11 (Z) + ^42(Z) C12 (Z), C24 (Z) = H41 (Z) C21 (Z) + H12 (Z) C22 (Z).
