Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
'(? + 1) 12 ... д
N-I
(11.3.15)
'(? + 1) 12 ... q
будет распределена как Fq<
jv-і—qr-
Доверительные интервалы. В общем случае, когда параметры модели отличны от нуля, совместная доверительная область для них дается неравенством (П4.1.14), которое в новых обозначениях имеет вид
(h - h)' С„ (h - h)< jr- fq, (1 - a) s\
(11.3.16)
Многомерный спектральный анализ
245
где s2 — выборочная оценка остаточной дисперсии. Например, при q = 2 доверительная область для (Аь A2) выглядит следующим образом:
(A1 - A1)2 с„ + (A2 - A2)2 C22 + 2 (A1 - Zi1) (A2 - A2) C12=SI jj- f2, jv-з(1 - a) S2.
(11.3.17)
Формулы для теоретических величин. Полученные выше формулы были выведены с помощью выборочных функций. При надлежащей интерпретации они применимы также и к теоретическим величинам. Так, например, вместо (11.3.8) мы будем иметь
'4 = ^+.(1 -Р(«+.>.2...,). (П-3.18)
где p(9+i)i2...g — теоретический множественный коэффициент корреляции.
11.3.3. Частная корреляция
Множественный коэффициент корреляции измеряет корреляцию между выходом и наилучшим прогнозом выхода с помощью всех входов. Однако полезно также уметь измерять корреляцию между выходом и одиночным входом. При решении этой задачи мы приходим к понятию частного коэффициента корреляции.
Чтобы проиллюстрировать основную идею, положим q = 2, так что модель (11.3.1) имеет вид
Xf3 — |х3 = A1 {Xn - X1) + A2 (Xt2 - X2) + Zf
Если A1 и A2 отличны от нуля, то случайная величина X3, очевидно, будет коррелирована как с Хи так и с X2. Однако коэффициенты корреляции рзі и рз2, описывающие корреляцию внутри пар (X3, Xx) и (X3, X2) по отдельности, не полностью характеризуют нужную нам корреляцию, так как сами X1 и X2 могут быть коррелированы. Если принимать в расчет лишь рзг и рзь то могло бы случиться в качестве крайней ситуации, что X3 и X1 порознь сильно коррелированы с X2, в то время как «непосредственная» корреляция между X3 и X1 очень мала.
Таким образом, до вычисления корреляции между X3 и X1 необходимо устранить влияние переменной X2. Этого можно добиться, если взять наименьшую среднеквадратичную регрессию величины X3 на X2 и величины X1 на X2. После этого частный коэффициент корреляции определяется как коэффициент корреляции между остаточными ошибками этих двух регрессий. Этим остаточным ошибкам соответствуют случайные величины
E1 = X1-VL1-^-(X2-H2),
Y22
E3 = X3-Ii3-^(X2-K),
Y22
246
Глава II
где \ik — ковариации X1 и Хк. Тогда
Cov[?„ ?3] = Y13-^l1
Var[?,] = Y11(I -Р22), (11.3.19)
Var [E3] = Y33(I-Pl3)-
Отсюда корреляция между E3 и E1 равна
Рз112= , P'3~P"P.2 (11.3.20)
V^(I - Pf2) (1 - РІз)
Эта величина называется частным коэффициентом корреляции между X3 и X1 после учета влияния X2. Соответствующий выборочный частный коэффициент корреляции получается в результате замены теоретических корреляций pij на их выборочные оценки Гц. Частный коэффициент корреляции р3211 получается с помощью перестановки индексов в (11.3.20).
Отметим, что в частном случае, когда случайные величины Xi, X2 и X3 являются тремя последовательными значениями стационарного случайного процесса, мы имеем різ = р(2), pi2 = р23 = р(1), где p(k)—автокорреляционная функция, зависящая от запаздывания k. В этом случае (11.3.20) сводится к
P (2)-P2C) 1-Р2(1) '
что совпадает с выражением для частного коэффициента автокорреляции, который мы обсуждали в разд. 5.4.3 и 11.1.1.
В общем случае для q входных переменных частный коэффициент корреляции между выходом Xq+I и любым из входов Xk определяется Как обыЧНЫЙ КОЭффИЦИеНТ КОрреЛЯЦИИ Между {Xg+I —
— Xq+i) и (Xk — Xk), где Хд+1, Xk — полученные методом наименьших квадратов из всех величин Х{, кроме Xk, прогнозы случайных величин Xq+i, Xk- Величины, по которым строится прогноз, имеют индексы 1, 2, ..., k — 1, k + 1, ..., q. Это множество индексов мы обозначим К. Можно показать [1], что частный коэффициент корреляции записывается в следующем общем виде:
(11.3.21)
J{q+\)k\K. ЛГ2-г— '
Vn(q + l) (?+1)?*
где Л(т — соответствующий элементу р(ТО минор матрицы корреляций R(g+l)(g+l) ВСеХ ПереМеННЫХ.
Многомерный спектральный анализ
247
Пример. Равенстро (11.3.20) можно получить из (11.3.21) следующим образом:
/1 Рі2 Різ\
R33= I Р21 1 Р23 ]>
\Р31 Р32 1 /
так что
Л31 = Pl3 ~ Pl2p23,
1 2
Я33 = 1 Pl2'
яи = 1 ~РІз' откуда и получается (11.3.20).
Дисперсионный анализ. Из (11.3.14) и (11.3.20), заменив теоретические корреляции на их выборочные аналоги, можно получить равенство
0-^12) = (1-4)(1-Іц2). (П-3.22)
Если мы хотим проверить, насколько значимо величина (11.3.22) отличается от нуля, следует воспользоваться формулой (11.3.8),которая показывает, что остаточная сумма квадратов после подгонки X1 и X2 дает долю 1 — г|12 от полной суммы квадратов. В этом случае равенство (11.3.22) показывает, что уменьшение суммы квадратов, обусловленное подгонкой х2, пропорционально величине (1 — г\2), а дальнейшее уменьшение, обусловленное подгонкой хи пропорционально (1 — rj[l2). Заметим, впрочем, что если сначала подгонять Xi, то (11.3.22) можно записать и в другом виде:
