Спектральный анализ и его приложения Том 2 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Свойство положительной полуопределенности. Как отмечалось в разд. 3.1.5, матрица ковариаций набора случайных величин является положительно полуопределенной. Следовательно, для любого N матрица ковариаций стационарного случайного процесса Vjv является положительно полуопределенной, т. е. все главные миноры определителя этой матрицы неотрицательны. Отсюда следует, что автокорреляции стационарного временного ряда должны подчиняться некоторому множеству ограничений. Например, при N = 2 из IV21 > О следует, что
Ip(I)Kl-
Аналогично, рассматривая пару случайных величин X(t),X(t + S)1 получаем для любого s
Ip(S)Kl.
224
Глава II
Более интересный пример получается при N
1 р(1) р (2) IV3I= р(1) 1 р(1) р (2) р(1) 1
Как нетрудно проверить, из (11.1.3) следует
1р(2)|<1,
3. В этом случае ' 0. (11.1.3)
р (2) - р2 (1)
< 1.
(11.1.4)
Первое из условий (11.1.4) не добавляет ничего нового, но второе дает ограничение, которому должны удовлетворять р(1) и р(2). Чтобы проиллюстрировать это ограничение, рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка, для которого р(2) = р2(1), р(3) = = р3(1) и т. д. Функция
т . р(2)-ог(1) я(2>= і-рЧі)
(11.1.5)
для процесса авторегрессии первого порядка равна нулю. Следовательно, когда я(2) отлична от нуля, она дает меру избыточной корреляции по сравнению с процессом авторегрессии первого порядка. Таким образом, я (2) можно использовать для проверки возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса первого порядка (разд. 5.4.3).
В более общем случае, рассматривая |Vft|, можно показать, что
n(k-I) =
I VA|
(11.1.6)
лежит между —1 и + 1, где IIVftil — алгебраическое дополнение элемента р (k—1) в матрице Vft. Зависящая от k функция я(k) называется частной автокорреляционной функцией. Она обладает тем свойством, что для процесса авторегрессии m-го порядка
3t(fe)=^=0, k^m, я (k) = 0, k > m.
Следовательно, я(k) можно использовать для проверки возможности описания эмпирического временного ряда с помощью процесса авторегрессии данного порядка.
11.1.2. Собственные числа матрицы ковариации и спектр
В этом разделе мы покажем, что собственные числа матрицы ковариации приблизительно равны значениям спектра мощности на частотах i/N. Некоторые элементарные свойства собственных
Многомерный спектральный анализ
225
чисел и собственных векторов, которые понадобятся в этом разделе, изложены в Приложении ПИЛ.
Линейное преобразование коррелированных случайных величин в некоррелированные. Предположим, что матрица ковариации случайных величин (Xi,X2, . . ., Xn) = X' равна V. Рассмотрим линейные функции 1;Х и 1/Х от этих случайных величин, где I1-, Ij-левосторонние собственные векторы матрицы V. Из (П 11.1.7) получаем
Cov[lfX, IJX] = IJVl, = (11.1.7)
Поэтому преобразование
Yt = ViX, i=\,2,...,N, (Ц.1.8)
переводит коррелированные случайные величины Xi в некоррелированные величины Yi. Далее, дисперсия К,- равна Xi — собственному числу, соответствующему вектору 1;. Например, при N = 2 собственные числа получаются из уравнения
= 0, (11.1.9)
1-Я р р 1-Х
так что X1 = I+о, X2=I-O. Собственные векторы равны
IJ = ' 1 1
I2 =
1 1 У 2 ' V 2
, х s (11.1.10)
|/2 ' V2
Следовательно,
t1 = -^r(X1 + X2),
1_ VT
, (11.1.11)
^2 = -yY (X1 — X2)
и можно проверить, что Yi и Y2 некоррелированы и Var [Ki] = 1 +' + р, Var [K2] =1 —р- Обратное (11.1.8) преобразование, а именно
X1 = IiY = IuY1+I21Y2 + ... +lmY N, (11.1.12)
показывает, что Xt можно записать в виде линейной функции от некоррелированных случайных величин K1-. Наконец, с помощью (3.2.18) дисперсию X1 можно разложить на слагаемые
N
Var [X1] = Ц C]iXs. (11.1.13)
/=і
8 Зак. 1178
226
Глава II
Собственные числа циклического случайного процесса. В общем случае собственные векторы матрицы ковариаций (11.1.2) случайного процесса зависят от ковариаций очень сложным образом. Однако ситуация существенно упрощается для периодического, или циклического, процесса с периодом N. Это означает, что
X(t) = X(t + N),
и, следовательно, автокорреляции удовлетворяют условию
p(k) = p{N-k). (11.1.14)
Если циклический процесс построен из обычного процесса с помощью первых N членов, то при N —> оо он будет стремиться к этому исходному процессу. Следовательно, при конечном N, свойства циклического процесса будут приближенно совпадать со свойствами исходного процесса.
В силу условия (11.1.14) матрица ковариаций циклического процесса имеет вид
1 р(1) р(2) ... p(/V-l) P(N-I) 1 р(1) ... P(Ar--2)
(11.1.15)
р(1) р (2) ... P(ZV-I) 1 Собственные числа матрицы удовлетворяют уравнению
ах а2 aN а,
а2 а3
1n-i
= 0,
(11.1.16)
где ui=l—X, а2 = р(1), .. •, ojv = р(ZV—1). Определитель (11.1.16) называется циркулянтом. Его можно представить в виде следующего разложения:
n n
IWv-MI = Д Sa1(D'-', (11.1.17)
где (Ой = exp [j (2nk/N) ] — один из корней zv-й степени из единицы. Подставляя вместо at их значения в (11.1.17) и считая, что zv = 2л, собственные числа матрицы можно записать в виде
