Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Вычислений выборочной оценки корреляционной функции. Для
вычисления выборочной оценки корреляционной функции необходима вычислительная машина. Программа вычислений для этой цели описана в приложении П5.3. Однако для того, чтобы лучше понять последовательные стадии вычислений, желательно, чтобы читатель просчитал один пример на настольной счетной машине. Для иллюстрации рассмотрим вычисление гхх(2) для данных о партиях продукта из табл. 5.1. Выборочную оценку (5.3.25) можно записать в виде
1 (N~k схх (ft)= ~jt I 2 xtxt + ь ~' х ( i = i
. (5.3.35)
N-k
2 {¦Xt+ +к)
+ (N
k)x2
5.3. Оценивание ковариационных функций
225
и, следовательно, большая часть времени счета идет на вычисле-
N-к
ние сумм сдвинутых произведений 21xtxt+k- При работе с настоль-
(=i
ной вычислительной машиной следует иметь в виду, что если из каждого наблюдения вычесть произвольную константу, то отклонения xt — X не изменятся, а следовательно, и cxx(k) не изменится. Поэтому для снижения порядка чисел, которые требуется перемножить, удобно вычесть из каждого наблюдения константу, по возможности близкую к среднему значению. Данные в табл. 5.1 изменяются от 20 до 80. Поэтому подходящей константой для вычитания является 50. В таком случае получим
68
2 (X1- 50) (X1+2 - 50) = (-3)(-27) + (14) (21)+ . . .
Аналогично имеем
70
2 (х,-50) = 79,
+ (7)(-27) = 3084.
68
68
2 (*,-50) =
102,
2 (X1 + 2 - 50) = 68.
t = і
Следовательно,
,(2) =
1
70
3084
79 70
(102 + 68) + 68
л.
70
= 42,55.
Дисперсия ряда схх(0) равна 139,8. Следовательно,
схх (2) 42,55
:(2) =
схх (0) 139,8
что совпадает со вторым значением в табл. 5.2.
= 0,30,
Резюме. Ниже мы резюмируем важные моменты, на которые следует обратить внимание при оценивании корреляционной функции.
а) Среднеквадратичная ошибка оценок, имеющих нормирующий множитель 1/7', обычно меньше, чем у оценок с множителем 1/(7"—и). Кроме того, первые являются положительно определенными, а вторые нет.
б) Необходимо провести в топ или иной форме коррекцию данных для исключения влияния низкочастотных трендов. В простых случаях, как, например, в (5.3.25), этого можно добиться с помощью устранения постоянной составляющей. Эта коррекция среднего значения сохраняет положительную определенность выборочной оценки. В других случаях, таких, как (5.3.27), тренды должны устраняться с помощью операции фильтрации, а автоковариации надо считать по формуле (5.3.29).
8 Заказ № 1210
226
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
в) Равенство (5.3.19) показывает, что если корреляции в исходном ряде достаточно сильны, то будут и сильные корреляции ОДЄ-нок автоковариаций. Выборочную ковариационную функцию, аргументом которой является запаздывание, можно рассматривать как новый временной ряд, полученный из первоначального временного ряда x(t); в таком случае (5.3.19) показывает, что, вообще говоря, этот новый временной ряд будет сильнее коррелирован, чем исходный.
г) Одно из следствий корреляции соседних ординат оценки ковариационной функции заключается в том, что ее выборочная оценка не всегда затухает так же быстро, как математическое ожидание оценки. Чтобы проиллюстрировать этот эффект, на рис. 5.13 приведена теоретическая корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка:
Xt = Xt_l-0,5Xi_2 + Zl. (5.3.36)
Значения этой корреляционной функции можно получать из рекуррентного соотношения (5.2.43) при т = 2, а именно
Рхх (*) = Рхх (k - !> - °'5Рх-х- (* - 2)-
Корреляционная функция представляет собой затухающую периодическую функцию вида (5.2.38) и имеет период, равный 8. На рис. 5.13 приведены две выборочные корреляционные функции искусственного ряда, полученного по формуле (5.3.36), причем в качестве Zt брались случайные нормальные числа из таблицы [7]. Верхняя функция сосчитана по 100 наблюдениям, а нижняя по 400. Характерной особенностью выборочной корреляционной функции, сосчитанной по 100 наблюдениям, являются большие осцилляции, которые сохраняются даже там, где теоретическая функция уже близка к нулю. Дело в том, что из-за большой положительной корреляции соседних значений выборочных ковариации за большим положительным значением корреляции следует, как правило, другое большое положительное значение. В результате этого искажается вид корреляционной функции. Выборочная корреляционная функция, сосчитанная по 400 наблюдениям, затухает быстрее, но все еще значительно отличается от теоретической корреляционной функции.
Главный вывод, который следует из проведенного обсуждения, состоит в том, что иногда опасно придавать слишком большое значение видимым особенностям выборочной корреляционной функции, особенно сосчитанной по коротким рядам. В настоящей книге мы будем использовать корреляционную функцию главным образом как промежуточную ступень при оценивании спектральной плотности, а также для получения рекомендаций при спектральном анализе.
',Or
0^' MOO
-0,5 L Wr-
0,5 \ N=IiOO
, , . ' I ! ¦ I 1 I . 1 і , , .......¦4-, ,,-
гі /о 1111 20 ' 111 ' 30"%7
¦O.SL i.Or
