Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
ат^ + ат_х^~^ + ... +O0[XW-P]=Z«), (5.2.40)
где, как отмечалось выше, Z(t) изменяет разрывным образом dmX/dtm.
Устойчивость, или стационарность. 1) Дискретный процесс. Дискретный процесс авторегрессии Xt является стационарным, если корни характеристического уравнения
pm__4pm-\_ _am = 0 (5.2.41)
лежат внутри единичного круга | р | = 1.
2) Непрерывный процесс. Непрерывный процесс авторегрессии X(t) будет стационарным, если корни характеристического уравнения
а^ + а^-1+ . . . +а0 = 0 (5.2.42)
имеют отрицательные действительные части.
В разд. 5.2.2 отмечалось, что условие стационарности совпадает с условием устойчивости соответствующей линейной системы. Поэтому условия (5.2.41) и (5.2.42) получаются из условий (2.3.38) и (2.3.20).
Корреляционная функция. 1) Дискретный процесс. Корреляционная функция дискретного процесса Xt удовлетворяет разностному уравнению
Рхх (*) = aiPxx (*-1) + а2Рхх - 2) + • • •
206
Г л. 5. Введение в анализ временных рядов
Общее решение этого разностного уравнения имеет вид
Рхх(*) = V,*' + ^*' + • • • + K^ • (5-2.44)
где лі — корни (возможно, комплексные) уравнения (5.2.41). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что в (5.2.44) получаются члены вида RM cos (fik + yt). Поэтому, вообще говоря, корреляционная функция pxx(k) будет содержать показательные члены и затухающие синусоидальные волны. Константы Ai в (5.2.44) можно найти, решая первые т уравнений (5.2.43) относительно а,-, как показано ниже.
2) Непрерывный процесс. Корреляционная функция непрерывного процесса X(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
dmovv(u) rfm-lp (ц)
ат + *-» J?-. + . ¦ . +аоРхх(и) = 0 («><».
(5.2.45)
Это уравнение имеет общее решение
Рхх(«) = Л1^"и|+Л2^101+ ... + A^-«1". (5.2.46)
где я, — корни уравнения (5.2.42). Если имеются комплексные корни, то они скомбинированы так, что получаются члены вида
e-h,\u\ cos (k2U + y).
Доказательство. Мы докажем упомянут*ые выше результаты только для дискретного случая. Если обе части равенства
(*,-(.) = «,(*,_,-ц)+ ... + am(Xt_m- p.)+ Z1 умножить на (Xt-k — р.), то получим (Л", —|і) a, —t»)(A,_4 —і*)+ . . .
¦¦•+«« (Xt-m - V) (Х,-> -*) + Zt (Xt-k - v). Беря математическое ожидание от обеих частей, получаем
°ХРхх(® = а1°ХРхХ (k - П + • • • + ат°ХРхХ (*-«) +
+ E[Z1(X1^-V)].
Поскольку случайную величину Xt-h можно выразить в виде
Xt-k — Iа= 2 hiZt
k-i
t = 0
и так как это выражение не содержит Zt, то E[Zt(Xt-H — и)] = 0. Отсюда получается результат (5.2.43).
5.2. Корреляционная и ковариационная функции
207
Пример. Корреляционная функция дискретного процесса авторегрессии второго порядка удовлетворяет рекуррентному уравнению
Pxx(*)= aJxx(k - J) + а2?хх(k -У> k>°- (5.2.47)
Это уравнение имеет решение
^xx
P„x(ft) = i4,icJ*1+i42i4*1. (5.2.48)
где яі, л2 — корни характеристического уравнения р2 — cctp — Gt2 = = 0. Отсюда
IT1-J-TC2 = OtJ, TCjTC2== —Ot2.
Далее, уравнение (5.2.47) при /?= 1 имеет вид
Рл-х 0 ) = а.Рхл-(°) + SP** (-П-
Отсюда
о /п——^_= + *2
гхх\1> 1 — а2 1 + Ti1It2 '
так как рХх(0) = 1, р*х(—1) = Рхх(1)-Из (5.2.48) получаем
Px^(O) = I=A1+A2, Рхх0) = ТТ^ = Л'ТС'+Л^-
Отсюда
л _ «,0-¦S) л -«,О-"?)
1 (1 + TC1Tt2) (Tt1 — TI2) ' 2 (1+TC1TC2)(Tt1-Tt2)
и, таким образом,
PxxW (1+TC1TC2)(TC1-TC2)
что согласуется с (5.2.37) для &>0.
Свойство дискретизации по времени. Если значения непрерывного процесса авторегрессии (5.2.40) измерять через равные промежутки времени А, то получится дискретный процесс
(X t-і*) = *, (*,_,-!«•)+ ••• + *»•(*<-я-ц) +
+ ^/ + PA-i+ .-. + (5.2.49)
где Z( — чисто случайный процесс. Уравнение (5.2.49) представляет собой смесь дискретного процесса скользящего среднего (5.2.23) и дискретного процесса авторегрессии (5.2.39). Отметим интересную особенность (5.2.49): в то время как исходный непрерывный процесс имел в качестве входа белый шум, дискретный процесс
208
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
авторегрессии имеет в качестве входа процесс скользящего среднего, порядок которого на единицу меньше порядка дифференциального уравнения, описывающего систему. Следовательно, этот вход будет иметь ненулевые корреляции лишь для первых (т— 1) запаздываний. Результат (5.2.49) получен в [8.]
Общие смешанные процессы авторегрессии — скользящего среднего. Более общим образом можно определить смешанный дискретный процесс авторегрессии — скользящего среднего в виде
(Xt — p) = al(Xt_l — p) + ... +ат(Х,_т — р) +
+ Z1 + 0,Z,., + . . . + ?,Z,_„ (5.2.50)
где / не связано с т. Для стационарности требуется, чтобы корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты лежали внутри единичного круга.
Для непрерывного времени смешанный процесс принимает вид
dmX . dm~xX , і rv/A і
ат^г + am_x Afa_x + ... + CL0[X(t)-p] =
= bt -^- + bt_, -^f + ... +bQZ (t). (5.2.51)
Из (2.3.19) следует, что условия стационарности, или устойчивости, непрерывного процесса (5.2.51) заключаются в том, что l^m— 1 и корни характеристического уравнения авторегрессионной компоненты имеют отрицательные действительные части.
