Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
последнего коэффициента <хт в подбираемой модели, а также доверительной области для него, как это делалось в разд. 5.4.1. По
причинам, которые будут объяснены в гл. 11, график пт в зависимости от т называется частной корреляционной функцией. Используя результаты разд. 5.4.1, можно выписать следующие приближенные выражения для первых двух значений ят:
*,~г„(1), ^--
Для интерпретации значения л2 мы напомним, что если процесс имеет первый порядок, то теоретические корреляции удовлетворяют уравнению рхх(2) = РХХ(1) и> следовательно, теоретическое значение я2 равно нулю. Если процесс имеет второй порядок, то л2 измеряет избыток корреляции в рл:х-(2), который можно было бы ожидать сверх корреляции, соответствующей процессу первого порядка.
Другая интерпретация я2 получается, если выразить остаточную сумму квадратов через частные корреляции. Таким образом, для процесса первого порядка из (5.4.7) получаем, что остаточная сумма квадратов равна
5М*(ЛГ-1)с„(0)(і -?)-
Следовательно, множитель (1—я2) показывает, во сколько раз
уменьшается сумма квадратов за счет подгонки процесса первого порядка. Аналогично остаточную сумму квадратов (5.4.11) можно записать в виде
S (а„ а2) ^ (N - 2) схл (0) (l — тс?) (l — .
Следовательно, (1—я2,) дает дополнительный уменьшающий множитель для суммы квадратов, получающийся за счет увеличения порядка модели до второго.
На рис. 5.18 показана частная корреляционная функция для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Доверительные интервалы с уровнем доверия 95% на рис. 5.18 центрированы около нуля, чтобы выделить те коэффициенты, которые можно
считать отличными от нуля. Видно, что я4 лежит вне этой полосы,
я2 лежит вблизи границы, а значения ят при m > 2 лежат глубоко внутри полосы. Это указывает на то, что для описания этих данных подходящим является процесс первого порядка, а не третьего, как
5.4. Оценивание параметров линейного процесса
243
это следовало из рис. 5.17. Однако, учитывая, что я2 лежит вблизи границы доверительного интервала и что s2 (2) значительно меньше,
чем s2(l), как видно из рис. 5.17, можно заключить, что для правильного соответствия этим данным требуется модель второго порядка
0,3-
0,2
0,1
-0,1
-0,2
-0,3
-0A-
95%-ные доверительные пределы
10 т
35%-ные доверительные пределы
Рис. 5.18. Частные корреляции для данных о партиях продукта, изображенных
на рис. 5.2.
5.4.4. Оценивание параметров процесса скользящего среднего
Первый вопрос, который надо решить при подборе процесса скользящего среднего
X^ + Zt + frZt-r + ... +?,Z,_„ (5.4.22)
заключается в выборе подходящего порядка модели /. Метод анализа здесь более сложный, чем для процесса авторегрессии, и ради простоты приходится определять наилучшее значение / по выборочной оценке остаточной дисперсии s2 (/). Это происходит из-за того,
что трудно в явном виде выписать функцию правдоподобия процесса (5.4.22), хотя для частного случая это было сделано в [13]. Впрочем, можно использовать простые численные способы для
244
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
рекуррентного вычисления логарифмической функции правдоподобия [1].
Для иллюстрации этого подхода рассмотрим процесс скользящего среднего первого порядка
Xt = p + Zt + ^Z,._,. (5.4.23)
При заданных значениях ц и ?i равенство (5.4.23) можпо использовать для получения последовательности Zt из наблюденных значений Xt- Так как E[Zj] = O1 то разумным начальным значением является го = 0. Отсюда получаем
Z\ = Xi (J., Z2 = X2 jl P1Z1
и т. д. Следовательно, нетрудно получить сумму квадратов
N
соответствующую заданным (р, ?i). Затем можно построить поверхность суммы квадратов для сетки значений р. и ?i и наметить контуры постоянного уровня. Если обозначить наименьшее для
данного / значение через S(\i, ?i, ..., ?(), то для выбора наилучшего значения / можно воспользоваться величинами
= -?-;-.? ¦ (5.4.24)
На рис. 5.19 показана остаточная дисперсия (5.4.24) для данных о партиях продукта, изображенных на рис. 5.2. Видно, что s2(/)
выравнивается при Z = 2 и затем проявляет заметное уменьшение при / = 8. Поэтому необходим процесс скользящего среднего восьмого порядка, чтобы получить приблизительно такое же согласие с данными, что и у процесса авторегрессии второго порядка. Ясно, что более простой процесс авторегрессии является и более реалистичной моделью.
Поскольку трудно выписать в явном виде сумму квадратов, приходится рассмотреть и другой способ получения доверительных областей. Если контуры линий уровня суммы квадратов построены, то доверительную область можно получить, выбирая согласно (П4.1.17) тот контур, для которого
S(p, р„ .. ., p,) = sfc, р„ ..., й)х
X
1 J__L+J_/, + , (1 - а)
(5.4.25)
Для иллюстрации равенства (5.4.25) с помощью случайных гаус-совских чисел было получено 50 членов процесса
X1 = 5 + Z,+ 0,5Z1.,.
246
Г л. 5. Введение в анализ временных рядов
На рис. 5.20 на плоскости (\х, ?i) показаны линии уровня суммы квадратов, вычисленной по этим данным. Выборочные оценки
