Спектральный анализ и его приложения Том 1 - Дженкинс Г.
Скачать (прямая ссылка):
5.1.4. Классификация временных рядов, встречающихся на практике
В большинстве работ, посвященных анализу временных рядов, исследователи рассматривают свойства стационарных процессов. Если эмпирический ряд не является стационарным, то можно применить различные приемы для устранения очевидных трендов, после чего оставшийся ряд будет разумно считать стационарным. Например, данные можно приблизить некоторыми математическими
*> Такие процессы называются также стационарными в широком смысле, или слабо стационарными.—Прим. перев.
t
5.1. Стационарные и нестационарные случайные процессы
187
функциями, такими, как экспоненты, ряды Фурье или многочлены. Другим приемом, который будет широко использоваться в последующих главах, является фильтрация или устранение низкочастотных трендов с помощью соответствующим образом рассчитанного фильтра.
Временные ряды, встречающиеся обычно на практике, можно разделить на три большие категории.
а) Ряды, являющиеся стационарными в течение относительно больших промежутков времени, благодаря некоторой форме контроля над внешними условиями. Примерами могут служить ряды, получаемые из генераторов случайного шума, таких, как электронные лампы, температура которых поддерживается постоянной, и вольферовский ряд чисел солнечных пятен, зарегистрированных в течение нескольких столетий. С практической точки зрения невероятно, чтобы какой-нибудь ряд оставался стационарным бесконечно долго, так что важным является вопрос, насколько длинную запись можно взять для анализа, чтобы при этом не нарушилось предположение о стационарности. Для геофизических рядов, таких, как числа солнечных пятен, условия могут оставаться стабильными в течение столетий. Однако в других случаях условия могут оставаться стабильными лишь в течение часов или минут или, возможно, вообще быть совершенно нестабильными.
б) Ряды, с которыми можно обращаться как со стационарными лишь при условии, что рассматриваются достаточно короткие реализации. Ошибки, допускаемые оператором при слежении, рассматриваются как стационарные, если только характеристики прослеживаемого сигнала поддерживаются неизменными, а измерения производятся в течение достаточно коротких промежутков времени так, чтобы оператор не успел устать. Если измеряют напряжение в некоторой точке самолета, летящего через турбулентную среду, то хорошо известно, что в течение коротких промежутков времени, скажем до получаса, ряд можно рассматривать как стационарный. Для больших периодов времени дисперсия ряда может измениться заметным образом из-за изменения уровня, или интенсивности, турбулентности.
в) Ряды, которые, совершенно очевидно, являются нестационарными как по своему виду, так и из-за априорных сведений об изучаемом явлении.
Формы проявления нестационарности рядов могут быть различными. Приведем несколько примеров простейших форм нестационарности.
Нестационарность среднего значения. Многие ряды проявляют нестационарность лишь в виде тренда среднего значения, не обнаруживая видимым образом каких-либо более сложных форм отклонения от стационарности. Например, большинство
188
Гл. 5. Введение в анализ временных рядов
экономических временных рядов содержит явно выраженные тренды, отражающие поступательное развитие экономики. На эти тренды накладываются флуктуации более высокой частоты, обусловленные краткосрочными экономическими факторами (например, использованием экономических регуляторов), а также еще более высокочастотные осцилляции, обусловленные игрой на бирже. Обычно предполагается (произвольно), что измеренный в логарифмическом масштабе экономический временной ряд (такой, как валовой национальный продукт, цены или капиталовложения) можно расщепить на ряд, дающий тренд (нестационарность среднего значения), и остаточный ряд, являющийся стационарным.
Нестационарность среднего значения и дисперсии. Ряд, который может иметь нестационарную дисперсию, получается в упоминавшемся выше примере с турбулентностью. Другой случай такого рода имеет место при контроле промышленных рядов. Эти ряды постепенно уходят нестационарным образом от нужного уровня из-за влияния случайных возмущений, если только не компенсировать их. Нестационарные модели, описывающие поведение таких рядов и используемые для синтеза оптимальных систем регулирования, приведены в недавних работах [1, 2]. Эти нестационарные модели можно обобщить таким образом, чтобы они описывали также «тренды» и «периодичности», обнаруживаемые в экономических рядах [3]. В результате такие модели могут дать основу для прогноза экономических рядов. Важная отличительная черта этих моделей состоит в том, что тренд рассматривается не как детерминированная функция времени, а как случайная функция, изменяющаяся по мере развития процесса.
Один простой нестационарный процесс. Простой нестационарный процесс Xt можно получить из стационарного чисто случайного процесса Zt по следующему правилу:
X1 = Z1,
X2 = Z1 + Z2 = Xx Ty-Z2,
X1 = Z1-T-Z2-T- . . . + Z, = A%,+Z(. (5.1.9)
Если E\Zt] = pi, то из (3.2.15) следует, что E[X1] = t\i. Аналогично если Var[Z(] = a2z, то из (3.2.18) следует, что
