Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
системах и рассматривающихся здесь, являются описательными, за
исключением только нескольких случаев. В большинстве случаев
окончательный ответ приводится в виде уравнения Бохлина, к которому мы
приходим применением принципа, известного главным образом под названием
принципа минимума энергии или принципа сохранения устойчивых стационарных
решений. В чисто историческом плане мы хотим упомянуть интересную статью
Бакера [7], встретившегося с проблемой резонансов (малых делителей) в
задачах небесной механики и давшего очень интересное описание поведения
системы в типичной резонансной ситуации. Из этой работы можно почерпнуть
много физических и математических рекомендаций. Сегодня за решение
рассматриваемых вопросов берутся много авторов. Такое исследование,
остающееся сегодня одним из лучших, было проведено Арнольдом [5].
Рассматриваемая проблема не может быть отделена от вопроса о структурной
устойчивости, однако даже для систем с двумя степенями свободы результаты
в этой области остаются скудными (см., например, [67]). Один известный
результат проливает некоторый свет на теорию возмущений: гамильтоновы
системы (не зависящие от времени) могут быть аппроксимированы структурно
устойчивыми системами. Другими словами, для данной консервативной системы
можно найти "очень близкую" (в смысле С1), которая будет структурно
устойчивой1). В этой связи мы еще раз упомянем возможные следствия того
факта, что любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений,
приводимую к нормальной форме, можно записать в гамильтоновой форме
(глава II, § 4). По нашему мнению, такую возможность надо использовать во
всех случаях, чтобы воспользоваться специальными свойствами гамильтоновых
систем, а особенно в связи со свойствами соответствующих инвариантных
многообразий.
2. Движение в окрестности положения равновесия
В этом параграфе мы кратко опишем постановку задачи о движении в
окрестности положения равновесия, ее решение с помощью формальных рядов и
подход к полному решению, который необходим в случае, когда частоты
нормальных колебаний линейно независимы на множестве целых чисел (глава
III, § 4).
*) О структурной устойчивости см. [50*] (прим. перев.).
2. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
239
Пусть гамильтониан Н (у, х) аналитичен в некоторой области D фазового
пространства, н соответствующие уравнения движения имеют вид
где х, у - векторы размерности п. Допустим также существование такого
изолированного стационарного решения#0, г/° в D, т. е.
для которого матрица д2Н/дудх не является особенной при х =ж°,
у=уп.Отсюда, разумеется, следует, что такая точка является максимумом или
минимумом для функции Н, т. е. квадратичная часть тейлоровского
разложения функции Н в окрестности этой точки может быть приведена к
нормальной форме или, что то же самое, соответствующие уравнения отвечают
п независимым осцилляторам1). Мы будем считать, что точка (ж0, у0)
является точкой минимума, так что вышеупомянутую редукцию можно
осуществить с помощью вещественного преобразования. В соответствии с
этим, если дано 6>0, то можно найти такое в>0, что при
где х, у -решение уравнений (5.2.1), соответствующее начальным условиям
х0,у0. Следовательно, определим q - у - у0 и р= = х - х°, так что можно
считать р, q ограниченными для всех моментов времени. Принимая q,рза
новые переменные, раскладывая функцию Н(у°-\- q, х°-\-р) в ряд Тейлора и
отбрасывая посто-
') Из невырожденности матрицы д2Н/дудх в положении равновесия в общем
случае не следует, что эта точка является максимумом или минимумом
гамильтониана. Это утверждение справедливо только в одномерном случае.
Например, в двухчастотной системе с гамильтонианом ((01>(02>0)
упомянутая матрица невырождена, а тривиальное положение равновесия
является лишь седловой точкой. В действительности замечание автора об
экстремальных свойствах гамильтониана ниже никак не используется, а для
приводимости системы к виду, отвечающему в линейном приближении
независимым осцилляторам, необходимо и достаточно, чтобы матрица д2Н/дудх
была невырожденной и чтобы кратным собственным значениям этой матрицы
соответствовали простые элементарные делители (прим. перев.).
(5.2.1)
Нх° ---- Ну9 = О,
(5.2.2)
1 х0 - Х° | < 8, | у0 - у0 | < 8,
где (х0, у0) D, для всех моментов времени имеем |ж - ж°|<6, \у - г/°| <
б,
240
ГЛ. V. РЕЗОНАНСЫ
янную часть, в силу сделанных предположений получим
Н = Н2 + Н3 + ..., (5.2.3)
где Hh(q, р)-однородные полиномы степени к относительно компонент
векторов q, р. Ряд (5.2.3) является абсолютно сходящимся. В
частности, мы имеем
Hi = jqcAq + qcBp + ±plCp, (5.2.4)
где Ат = A, Cv =.С, а, очевидно, Н2 - по предположению положительно
определенная квадратичная форма, приводимая линейным симплектическим
вещественным преобразованием к нормальной форме
= ] + Г°Ч). (5.2.5)
Здесь D2 = diag(o)i,... ,со^), а сof(7 = 1, ..., п) - собственные числа
задачи1). Якобиан |/| линейного преобразования {q, р) ->-(ti, %), т. е.
