Методы теории возмущений для нелинейных систем - Джакалья Г.Е.О.
Скачать (прямая ссылка):
интегралом, то
М° - тождественное, М1 = М, М'+$ = M*MS
и само М может быть приведено к нормальной форме с помощью сходящегося
преобразования Биркгофа. Основы доказательства этого утверждения были
заложены Биркгофом [4]. За большими деталями мы отсылаем читателя к
статье Мозера [25] об интегрируемости отображений.
Что касается приведения к нормальной форме системы
xh =fh(x) [к = 1, ..., п)
в окрестности положения равновесия х = 0,то сходимость преобразования,
описываемого рядами, может быть легко установлена. Если
П
fh (х) = 2 Chixi + члены высшего порядка,
224
ГЛ IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
и собственные значения Х\, ..Хп матрицы {сы} различны между собой, то
существует постоянная неособенная матрица Р, такая, что
р-^СР = diag (Яь ..., Хп) =.Я, и в окрестности точки х = 0 мы получаем
такой вид уравнений:
х = Хх 4- ф (х).
Если ^j]'kXk - ХгфО при 22, где /* - целые числа, то су-h h ществует
преобразование х = у + (у), приводящее исходную си-
стему к виду
У = Ху.
Сходимость можно установить, если все Re Xk имеют один и тот же знак, так
как в этом случае нетрудно показать, что все малые делители задачи, т. е.
величины отделимы от нуля.
Ясно, что вышеупомянутое предположение не может быть выполнено в
гамильтоновой системе. Однако для неконсервативных систем в общем случае
нормализация является более простой процедурой, чем применение рядов
метода Ли, и оба этих метода приводят к одинаковому результату.
Ясная связь между приведением к нормальной форме и устойчивостью
устанавливается с помощью следующей теоремы (см. [36]). Пусть D -
ограниченная в Сп область, содержащая
начало координат, и пусть решение уравнений z - f(z), z = = (z1; ...,
z"), где f (г)- аналитическая в D функция и / (0)= 0, остается в D.
Теорема. Если решения системы уравнений z=f(z),z(0) = = z0efl остаются в
D при всех t и при всех z0 eD, то в окрестности D' (D' cz D) нуля
существует такая замена переменных
z = и (?) =? + члены высшего порядка,
что преобразованная система дифференциальных уравнений
имеет вид ? = А%, где А - постоянная диагональная матрица, собственные
значения которой имеют нулевые вещественные части.
Теорема Мозера об инвариантных кривых становится проще для понимания,
если рассматривается для двумерной системы, т. е. на плоскости.
Рассмотрим кольцо А{ 1 < Д < 2}, где R2 == х2 -f- у2.
Если 0 - полярный угол, то dx dy= -у dR d0.
Отображение кручения определяется формулами
j R* = R,
М° { Q* = в + у (Л).
6. ЗАМЕЧАНИЯ
225
Отображение М0 очевидно сохраняет площадь, и окружности R = const
инвариантны относительно Mq. Важно, чтобы выполнялось условие кручения:
^'(R) ф О, R^A. Основным свойством отображения М0 является то, что каждая
окружность для любого j{R), соизмеримого с 2я (т. е. у/2я = р/q), состоит
из неподвижных точек отображения Mq. Каждая окружность, для которой
величина ч не соизмерима с 2я, плотно покрывается образами любой точки
при отображении Ml. Мозер рассмотрел возмущенное отображение кручения
| R* = R + &f {R, 0, е),
М* \ 0* = 0 + y(tf) + eg(tf, 0, е), гДе /, S - 2я-периодические функции
0. Отображение Ме определено в кольце А. Наличие малого параметра е не
обязательно, но здесь для удобства мы выбрали именно этот вид
отображения. Если отображение Мс сохраняет площадь, то для данного
рационального числа, заключенного между ^(1)/2я < p/q и ч(2)/2я > pjq,
существует 2q неподвижных точек отображения Mi, удовлетворяющих условиям
Rq = R, 03 = 0 + 2пр
для достаточно малых е. В теореме Мозера рассматриваются возмущения таких
окружностей R - const, для которых число 4(R)12я является иррациональным,
и эта теорема может быть сформулирована следующим образом (случай "малых
возмущений").
Теорема. Пусть *('(R) ^ О для R^A и пусть любая кривая Г, окружающая
окружность R = 1, пересекается со своим образом, т. е. с кривой
Г*==Л/е(Г). Функции fug предполагаются достаточно гладкими. Тогда для
любого данного числа со, заключенного между ч(1) и ч(2), не соизмеримого
с 2п и удовлетворяющего неравенствам
| qa - 2пр | > С \ q | "3/2
для всех целых р, q =#= 0, существует дифференцируемая замкнутая кривая
Г R = ^(Ф, е),
I 0 = Ф + ?(ф, е),
где функции F, G имеют период 2я относительно ф, которая инвариантна
относительно отображения Мг при условии, что е - достаточно малая
величина. Более того, образ каждой точки кривой Г получается заменой ф на
ф а>.
15 г. Е. О. Джакалья
226
ГЛ. IV. ОТОБРАЖЕНИЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ ПЛОЩАДЬ
Ясно, что если отображение А/е сохраняет площадь, и кривая Г окружает
окружность /2 = 1, то образ этой кривой Л/е (Г) обязательно пересечет
кривую Г в силу предположения о свойстве сохранения площади, так как он
не может целиком лежать внутри или вне кривой Г при отображении Ме,
достаточно близком к М0.
Эту теорему легко можно применить для прямого доказательства теоремы
Арнольда об устойчивости положений равновесия эллиптического типа в
двумерных системах. Важное применение этой теоремы было также указано
