Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
адиабатический потенциал Е {р, ф} основного электронного состояния как
функционал от р (г) и ф (г). Экстремумы этого функционала могут быть
найдены и в том случае, когда мы вначале минимизируем (35.28) по р(г) и
ф(г), а затем по т|з (г).
Приравнивая нулю вариации функционала (35.28), обусловленные изменением р
(г) и ф (г) при фиксированном -ф (/*), находим
V2 ф = -^-о|з2 (г). (35.29)
Р е
После подстановки (35.29) в (35.28) получим функционал Е^г)}, зависящий
только от а|)(г).
При минимизации функционала Е^г)} используем простейшую пробную волновую
функцию
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ в ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
255
Тогда функционал ?¦ {ij; (/")} будет зависеть только от вариационного
параметра ц, и содержать три слагаемых
Е {г]5 (г)} =Е (fi) = Z-fi2 - Ац3 - Вц, (35.30)
где
L ¦¦
Зяй2 2т* а '
А = - , В-
2ра3
(35.31)
определяют соответственно вклады от кинетической энергии электрона, от
деформации решетки, обусловленной относительным изменением объема
(акустическая ветвь) и поляризацией решетки (оптическая ветвь).
Рис. 47. Энергия локализации электрона при взаимодействии с акустическими
и оптическими ветвями колебаний решетки.
На рис. 47 указаны значения Е (fx) в единицах B2/4L как функции \ = 2ЫВ
для значений А = 0 (отсутствие взаимодействия с акустической ветвью) и A
= L2/4B. При возрастании ^ уменьшается радиус электронного состояния.
Рассматриваемая здесь континуальная модель кристалла применима только при
значениях jx<0,l, т. е. при |<0,2LIB. Пунктирные кривые на рис. 47
указывают возможную зависимость F (?) при значениях ? > 0,2LIB.
Таким образом, учет влияния взаимодействия электрона с акустической
ветвью колебаний мало изменяет поляризуемость кристалла вокруг электрона,
обусловленную взаимодействием большого радиуса и приводящую к появлению
локализованного состояния F сравнительно большого радиуса. Однако в
некоторых кристаллах взаимодействие электронов с акустическими фононами
может приводить к появлению более устойчивых состояний малого радиуса
(пунктирная кривая 1 на рис. 47), или
256
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
метастабильных состояний S2 (пунктирная кривая 2). В обоих случаях
состояния S отделены от состояния F потенциальным барьером. В некоторых
кристаллах состояния малого радиуса вообще не реализуются - пунктирная
кривая 3.
Важность взаимодействия электрона с акустической ветвью колебаний для
образования состояний S малого радиуса ("са'мо-захват электрона") была
впервые указана Тоязавой [120].
Кроме континуальной модели кристалла мы использовали в этом разделе
адиабатическое приближение. Поэтому полученные качественные результаты
справедливы только в том случае, когда малы параметры неадиабатичности:
уа = hca!(hql/2m*) для акустических колебаний и y0 = frQ0/(fiql!2m*) для
оптических колебаний.
Теория, учитывающая одновременное взаимодействие электрона с оптическими
и акустическими ветвями колебаний без использования континуальной модели
и адиабатического приближения, развивалась в работе Суми и Тоязавы [132]
на основе метода фейнмановских интегралов. Было показано, что резкое
изменение состояния полярона (наблюдаемое при увеличении связи) от почти
свободного типа (F) к самозахваченному типу (S) вызывается
взаимодействием малого радиуса (деформационный потенциал акустических
колебаний), а не дальнодействующим взаимодействием (поле электрической
поляризации оптических колебаний). Такое резкое изменение должно
наблюдаться только при малом отношении средней энергии фононов к
энергетической ширине электронной зоны в жесткой решетке, т. е. при Y<^1.
При у 5^1 почти свободное состояние F практически не отличается от
самозахваченного состояния S.
§ 36. Квантовая теория взаимодействия электронов с фононами в ионных
кристаллах
В предыдущем параграфе при исследовании взаимодействия электронов с
колебаниями ионов мы описывали поляризацию кристалла на основе
классической электродинамики. Чтобы перейти к квантовому описанию, надо
найти гамильтониан системы продольных оптических фононов,
взаимодействующих с электроном. Для этого вначале найдем явный вид
классической функции Гамильтониана как функции обобщенных координат
и сопря-
женных к ним импульсов, а затем перейдем к операторам квантовой механики.
Пусть Р(г) - вектор удельной поляризации кристалла, его изменение с
течением времени определяется частотой Q (для простоты не учитывается
дисперсия оптических колебаний). Поляризация Р(г) создает плотность
связанных электрических зарядов рс(/") = - divP(r). Поэтому потенциальная
энергия взаимо-
§ 36J КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 257
действия электрона, находящегося в точке г, с полем, создаваемым этими
зарядами, определится выражением *)
int = -еф (ге), е>0, (36.1)
где потенциал <р(г) определяется уравнением Пуассона
V2cp (г) = - 4ярсв = 4л div Р (г),
или
Уф(г) = 4яР(г). (36.2)
Функцию Гамильтона можно записать в виде суммы трех слагаемых
"ЯГ = бЯГе + е5Грь + е5Г1п,, (36.3)
