Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
34.4*. Эффективная масса электрона, сильно взаимодействующего с
деформацией решетки. В 34.3 рассматривался случай сильной связи
электронов с деформацией решетки при использовании адиабатического
приближения и континуальной модели кристалла. Было показано, что при
некоторых условиях электрону энергетически выгодно образовать в кристалле
глубокую локальную деформацию сравнительно малого радиуса. Проведенное
исследование обладало рядом недостатков: 1) состояние электрона малого
радиуса нельзя рассматривать в континуальной модели кристалла; 2)
постулировалась возможность использования адиабатического приближения; 3)
не учитывалась следующая из трансляционной модели кристалла возможность
поступательного движения электрона вместе с деформацией.
Исследование зависимости энергии электронов от суммарного импульса
"одетого" электрона позволит определить его эффективную массу. Ниже,
следуя работе Тоязавы [120], мы постараемся освободиться от указанных
выше ограничений. Естественно, что для получения обозримых результатов
придется использовать другие упрощения. Рассмотрим кристалл кубической
сингонии. При описании одноэлектронных состояний будем использовать
приближение сильно связанных электронов (см. § 20.3). В этом случае
оператор энергии электронов, отсчитываемый от энергии га - w0, при учете
взаимодействия с ближайшими атомами определяется выражением
Hei = - wa^at+man, (34.56)
п, т
w0 и wa - матричные элементы (20.16); знак "~" над суммой указывает, что
суммирование по m выполняется по узлам решетки, соседним с п.
Проведя в (34.56) каноническое преобразование
ап = (34.57)
' ь
мы убедимся, что состояние электрона, соответствующее волновому вектору
к, обладает энергией, превышающей ea - w0:
E0(k) = - wa 2 eikm - - 2wa (cos kxa + cos kya + cos kzd). |(34.58)
m
238' ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЁ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ [ГЛ. VII
Для простого кубического кристалла в области малых значений ka можно
преобразовать (34.58) к виду
E0(k) = -6wa + ~ + ...,
где т* - эффективная масса электрона в зоне проводимости, связанная с
параметром wa соотношением
wa - h2/(2m*a2). . (34.58а)
Оператор энергии продольных акустических колебаний решетки,
взаимодействующих с электроном, имеет вид
= I (34.59)
9
где са - скорость звуковой волны. Наконец, оператор энергии
взаимодействия электрона с продольной ветвью акустических колебаний можно
записать в виде (см. (34.18))
tfint =77^2 F° ^ ^b9~b-i) а"апе'9П" (34.60)
n,q
где
Fa{q) = -iaY^ = -F*a(g), (34.61)
М - масса атома, а -параметр, характеризующий величину взаимодействия.
Исследуем вариационным методом нижайшее состояние оператора полной
энергии
Я = Яе1+ЯрЬ + Яы, (34.62)
соответствующее определенному значению волнового вектора k. Для этого
используем пробную функцию в виде *)
1 b)=~2e'knS^ а" I °>" ' <34-63)
*) Пробная функция (34.63) является простейшей. Более общей была бы
пробная функция вида
I ^Yn 2 eik"Sk (П) 2 Ф* (т) а"+т 1 0)' (34.63а)
п т
где Фк(т) - также подлежащая определению функция, удовлетворяющая
условию ^ | Ф* (т) \2- 1 и характеризующая распределение электрона вокруг
т
узла п. Используемое же приближение ФА(/и) = 60 может быть оправдано
только в случае состояний электрона малого радиуса. К сожалению, вычислен
ния с пробной функцией (34.63а) пока еще провести не удалось.
§ 341 ПОТЕНЦИАЛ ДЕФОРМАЦИИ В КОВАЛЕНТНЫХ КРИСТАЛЛАХ 239
где 10) - вакуумное состояние относительно электронов и фононов,
(34.64)
Sk (п) = ехр [ 2 р|(<7, n)bq - э. с.
L Ч
§"(д, n)^fk(q)e-i!in, 5ft1 (п) = Si (п). (34.65)
Функция /* (q) подлежит определению из условия минимума функционала
•МЫ = <Ч>*|Я 1Ч>*>- (34-66)
Оператор Sk(n) характеризует деформацию решетки вокруг
узла п, т. е. смещение равновесных положений, вокруг
которых
происходят колебания нормальных координат. В этом легко убедиться, если
учесть, что
S?{n)bqSk{n) = bq-$k{q, л),
Skl(n)b+qSlt(n) = b;-№(q, п). ( j
Используя далее тождество (см. математическое дополнение Г
- формула (Г. 12))
<0 | ехр (ab+ - a*bq) ехр (y*bq - yb+q) | 0> = ехр [а*у - (| а
|2 + j у j2)
и выражения (34.67) и (34.65), получаем следующее выражение для
функционала (34.66):
J {/*} = - wa ^ ехр [iktn - (т)] +
т
+ J П | q | с. | fk (q) j2 + pL 2 Fa (q) [fk (q) - ft {q)]- (34.68)
я q
В этом выражении ^ обозначает суммирование по векторам т,
т
направленным от некоторого узла к ближайшим другим. В частности, в
простой кубической решетке
tn = {±a, 0, 0}, {0, ±а, 0}, {0, 0, ±а]. (34.68а)
Неизвестная функция (т) определяется выражением (для кри-
сталлов с центром симметрии)
?ft (т) = 2 ^ sin2 qm | fk (q) |2. (34.69)
Я
Минимизируя функционал (34.68) по /*(<7), имеем
fk{q) = Fa{q)\VNE(k, q)\-\ (34.70)
240
ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
[ГЛ. VII
где
E(k, q) = hca\q\ + 2wa^e~Zk(m) (34.71)
т
Подставив значение (34.70) в (34.69) и (34.68), получаем
(Ж72)
я
Е (ft) = - wa ^ [1 + Ik (и*)] ехр {ikm - S* (т)} - I
т q
(34.73)
В предельном случае слабой связи электронов с фононами в (34.71) можно
