Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
вклад в энергию фононов; однако он обеспечивает установление
термодинамического равновесия в системе и ответствен за несохранение
числа фононов. Мы будем учитывать w только тем, что положим [х = 0 и
применим к фононам формулы статистической физики для равновесных
состояний.
Итак, полагая [х = 0, получим, используя (10.9) и (10.13), следующие
выражения для среднего числа фононов в состоянии | v*a) и свободной
энергии кристалла
Особенно просто вычисляется свободная энергия изотропных кристаллов в
предельных случаях низких и высоких температур.
А. Низкие температуры. Предположим, что температура такова, что
возбуждаются только фононы акустической ветви с энергией,
пропорциональной волновому вектору
где Va - скорость звука соответствующей ветви колебаний. По порядку
величины Ка-~105 см/сек. Если а я%=г 10 8 см, TO^Qmax = = HVa&max^lO^15
эрг. Таким образом, поставленные выше условия удовлетворяются, если
температура кристалла меньше 10 °К.
(10.12)
Среднее число частиц в этом состоянии
(10.15)
F = Ф = ^ Ф*а = (c)2 -ехр(
!)]. (10.16)
k, а
fc, а
HQa (А?) - HVaky Clkmax 0,1,
(10.17)
56 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. И
При большом числе N элементарных ячеек в кристалле сумму по волновым
векторам можно заменить интегралом. В соответст* вии с (4.11) и (10.17)
имеем
ь О
ктах "шах
V С С
L-------(2nf Zd J n*Ai ) V* '
ь, a a 0 a 0
Таким образом, (10.16) принимает вид
зvNe с , г. ( т
\ In 1 - exp f ¦
9JdQ, (10.18)
где = верхний предел в интеграле принят равным
Л
бесконечности, так как большие частоты не дают вклада в интеграл. Вводя
новую переменную x=HQ/Q и интегрируя по частям, получаем
р__ a/Vn264
' 30 (/Н7)3'
Следовательно, полная энергия фононов при температуре 0 равна
д (F\ '
с~ и ев [;ej- го (*v)3 * а теплоемкость единицы объема кристалла
c'-=iS=a03- <10Л9)
2д2х
где a = -~r , х -постоянная Больцмана.
5(йУ)3'
Б. Высокие температуры. Если выполняется неравенство hQa (%) < 0 для всех
фононов, то (10.16) можно заменить приближенным выражением
/¦ = (c)2 In (йОв(*)/в).
a
В этом случае полная энергия
? = 3(Мт- 1)0я"ЗМг9,
где сг-число атомов в элементарной ячейке кристалла. Теплоемкость единицы
объема кристалла
3ах •
У
В. Средние температуры. При средних температурах вычисление свободной
энергии фононов с помощью формулы
§ 10]
ФОНОННАЯ ТЕПЛОЕМКОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
57
(10.16) требует знания детальной зависимости Qa(ft) от а и 4.
Приближенное вычисление (10.16) базируется на следующих упрощениях: а)
При вычислении вклада в F фононов оптических ветвей колебаний
пренебрегают зависимостью их частоты от волнового вектора (приближение
Эйнштейна), т. е. полагают ?2a(ft) = = Qa0, тогда
где суммирование распространяется на Зет -3 ветви оптических колебаний
кристалла, содержащего N элементарных ячеек с о атомами в каждой, б) При
вычислении вклада в свободную энергию акустических фононов используют
приближение Дебая. Это приближение состоит в том, что энергии фононов
трех акустических ветвей колебаний полагаются травными
а Qmax определяется из условия, чтобы их полное число, вычисляемое с
помощью интеграла
Тогда свободная энергия акустических фононов вычисляется с помощью
выражения (10.18), в котором средняя скорость фононов V выражается через
Qmax с помощью (10.20), и верхний предел интегрирования приравнивается
Qmax:
Вводя переменную * = /Ш/0 и дебаевскую температуру 0о = Штах,. после
интегрирования по частям получаем окончательное выражение
а
равнялось 3N. Из этого условия получаем
(10.20)'
О
шах
0
FK - vNQ [3 In (1 - е~Ц - D (?)], |=0д/0,
58 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
- функция Дебая, имеющая следующие предельные значения:
е<1.
1 _ 3 t 4- 1 ё2 1 8 5 ^ 20 5 '
;>1.
Полная энергия акустических фононов в кристалле
E = 3vN@D(Z,) и теплоемкость единицы объема кристалла
C" = 3x(D(c) + 0^-), I = (c)в/0.
При высоких и низких температурах для теплоемкости соответственно
получаем
1" + ...
Cv =
3x1-
12я4
5?3
5<1.
s>l.
Простота дебаевского приближения состоит в том, что весь спектр
акустических фононов кристалла выражается через один параметр -
дебаевскую температуру Qd - kTd. В табл. 3 приведены значения дебаевской
температуры TD.
Таблица 3 Дебаевские температуры для некоторых кристаллов
Кристалл РЬ КВг NaCl С, алмаз
TD, "К 90 180 280 2000
ГЛАВА III
ФОНОНЫ В ИОННЫХ, КРИСТАЛЛАХ § 11. Макроскопическая теория оптических
ветвей колебаний
Большинство диэлектриков относится к ионным кристаллам, В таких
кристаллах кулоновская энергия играет главную роль во взаимодействии
ионов на больших расстояниях. На малых расстояниях наблюдается
экспоненциально возрастающее отталкивание, обусловленное обменным
взаимодействием замкнутых электронных оболочек ионов. Суммарный
электрический заряд каждой ячейки кристалла равен нулю. Отклонения ионов
из положений равновесия, соответствующих минимуму потенциальной энергии,
приводят к появлению упругих и электрических сил, возвращающих их в
