Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
каноническое преобразование к коллективным переменным Л* =
Гпа = ^=гУеа{К) Л*ехр(^л), а=1, 2, 3, (8.4)
У Nm
k
где еа (k) = еа (-k) - вещественные постоянные, которые будут определены
ниже. Унитарность преобразования (8.4) обеспечивается равенствами
1 V4______ * 1
N
^exp [/(Л - k')n] = bkk', дГ2ехР11(л_'л,)Л1==б"п'" (8-5)
где суммирования производятся по всем N векторам решетки п и по всем N
волновым векторам из первой зоны Бриллюэна. После преобразования получаем
К = 2 ^ № еа (- k) AkA-k, (8.6)
k, a
U = у ^ W e<1 W efi ft) AkA-k, (8.7)
к, а, р
где
Dap (Л) = DI* (Л) = Dip (- Л) = ~ 2 (я) ехР (ikn) (8-8)
П
- матричные элементы силовой матрицы.
Введем функцию Лагранжа L = K - U. Тогда уравнения Лагранжа
при ч =
принимают вид
еа (k)Ak + 2] (к) бр {к) Ah = 0.
ФОНОНЫ В ТРЕХМЕРНОМ КРИСТАЛЛЕ
С помощью подстановки
Л* = -?2Я(*М* (8.9)
эти дифференциальные уравнения преобразуются к алгебраической системе
трех уравнений относительно неизвестных ea(k):
Q2 (к) еа (к) - 2 Daр (к) е& (к) = 0. (8.10)
Р
Из условия нетривиальной разрешимости этих уравнений находим
дисперсионное уравнение
|| Оя(*)6"э-Д,"(*)! = 0, (8.11)
определяющее частоты Q2 (k) для каждого значения к.
Уравнение (8.11) имеет три корня Ql(k) (s=l, 2, 3). Соответствующие им
три решения определяют три вектора e(s) (k) с компонентами (&). Эти
векторы взаимно ортогональны, и так как они определяются уравнением
(8.10) только с точностью до постоянной, то можно положить
H<4S)(*)4S,) (*) = ""'. (8-12)
а
г
При к + 0 матричные элементы Д,р (к) согласно (8.3) и (8.8) стремятся к
нулю. Поэтому предельные значения всех трех частот Qs(k) также стремятся
к нулю при ft->0. Эти решения называются тремя ветвями акустических
колебаний.
В кристаллах кубической сингонии один из векторов e(s) (k) направлен
вдоль вектора k. Соответствующие колебания называют продольными. Два
других - взаимно перпендикулярны и перпендикулярны к. Они определяют
ветви поперечных колебаний. В изотропном кристалле частоты Qs(k) не
зависят от направления k. При этом две ветви поперечных колебаний имеют
одинаковые частоты Q, (k) для каждого к. Частота продольной волны Q, (к)
обычно выше. В анизотропных кристаллах три решения е(5) (к) взаимно
ортогональны, однако только для некоторых выделенных направлений в
кристалле один из них совпадает с k.
В соответствии с тремя решениями системы уравнений (8.10), компоненты
смещения атомов в кристалле (8.4) будут определяться тремя коллективными
переменными A"s для каждого вектора к с помощью выражения
r"a=-j~'^e^{k)Atsexp(ikn), s = 1,2,3. (8.13)
к, s
48 ФОНОНЫ В КОВАЛЕНТНЫХ И МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. II
При этом при использовании соотношений (8.10) и (8.12) кинетическая и
потенциальная энергии преобразуются к виду
К - ~22 *•s* = - iQs(k) ^*s, (8-14)
ft, S
k, s
Обобщенные импульсы, сопряженные обобщенным координатам i4*s.
определяются равенством
D. -W-W=JLt'"
ЗА*,
Выражая в (8.14) скорости через импульсы, находим классическую функцию
Гамильтона
E = K + U = ^'?[Рк1Р-1,., + а1(к)А1"А-к, si (8.16)
l
Ь, s
Переход к квантовому оператору Гамильтона осуществляется заменой
обобщенных координат и импульсов операторами по правилу
Aks~+Aks = ~\/ 90 lh\ (bks-\-b-k,s),
Г "lirl_______ (8.17)
PksPks = i у у fta. (*) (ь*Л1 - ft-*, s),
где операторы рождения bis и уничтожения 6*s фононов в состояниях |v*s),
характеризующих число фононов каждой ветви колебаний. Они удовлетворяют
обычным перестановочным соотношениям для операторов Бозе.
Проведя преобразования (8.17) в (8.13) и (8.16), получим операторы
Гамильтона и векторов смещения атомов из равновесных положений
k,S
/т V e{S'(k)
ZVQ7W)^blls + b-l'-^exР^л)-
(8.18)
Таким же образом можно найти операторы других физических величин, если
известны их выражения через обобщенные координаты Aks И ИМПуЛЬСЫ Pks-
Полученные результаты можно обобщить и на случай кристаллов с а атомами в
элементарной ячейке. Фононный спектр таких
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ФОНОНАМИ
49
кристаллов состоит из За ветвей с частотами ?2*(к), s- 1, 2, ... , Зсг.
Частоты трех из этих ветвей стремятся к нулю, когда волновой вектор
стремится к нулю. Они называются акустическими ветвями. Остальные 3(а-1)
ветвей колебаний называются оптическими. Оператор Гамильтона фононов
имеет вид
H='2lhQs(k){btsbk 5+1/2), (8 Л 9)
А, 5
а операторы смещений атомов в элементарной ячейке
= ^^=~(b*s + btk,s)exp(ikn), (8-20)
где
2 S (*) (*') =
;=i(i=i
Колебания атомов в кристаллах проявляются в ряде явлений. В частности,
при поглощении и испускании инфракрасного света, при неупругом рассеянии
света видимых и инфракрасных частот (раман-эффект); при неупругом
рассеянии нейтронов; при исследовании резонансного поглощения гамма-
квантов ядрами атомов (эффект Мёссбауэра) и др. В разных явлениях
проявляются разные ветви колебаний. Например, поглощение и испускание
света связано с рождением и исчезновением фононов, которые соответствуют
поперечным колебаниям, изменяющим электрический дипольный момент
