Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
d**a = (/?ар ~ Y SafiR) dV. (52)
Плотность момента вращения определяет тензор Эйнштейна
8. Сам геометрический смысл произведенного Кар-таном исследования моментов указывает на тождественное равенство нулю ковариантной дивергенции тензора, стоящего в правой части равенства (52) 1), причем этим свойством не обладает в отдельности ни одно из слагаемых, составляющих этот тензор. Значит, у этого тензора такая же геометрическая природа, как и у тензора энергии — импульса Tvkv2).
9. В силу сказанного теория гравитации Эйнштейна исходит из тензорного уравнения
^«3 T == Tr ^aP* (^3)
1) Другой путь, идя по которому можно придать геометрическое содержание тензору Эйнштейна (не сравнимый, однако, по глубине с анализом Картана), см. у Паули [25], стр. 47.
а) Ho и со1 тензоров, отличающихся от тензора энергии на Ctga^y где a=Const, будут обладать «той же геометрической природой»* как это отметил тот же Картан. — Прим. ред.
166
Глава 4
Фигурирующий здесь коэффициент пропорциональности определяется из того требования, чтобы в статическом мире геометрия вокруг сферически симметричного центра с массой т задавалась с помощью главного метрического коэффициента вида
10. Возьмем некоторую точку P пространства — времени. Пусть через эту точку с какой-то скоростью проходит пробная частица. Временная ось сопутствующей ей лоренцовой системы отсчета направлена вдоль соответствующего единичного вектора dxa/dx. Этой оси ортогональна местная пространственноподобная гиперповерхность. На указанной гиперповерхности плотность момента кривизны (в единицах длина/длина3) равна плотности энергии (с множителем 8nG/c4 для перевода из единиц энергия/длина3 в геометрические единицы). Этим утверждением, которому соответствует уравнение
для любой точки P и для произвольного трехпараметрического набора направлений dxa/dxt выражается вся суть уравнений Эйнштейна.
Доводы Гильберта в пользу четырех тождеств, связывающих уравнения Эйнштейна
На десять уравнений (53) накладываются четыре то ждества — четыре уравнения, уже не предъявляющих новых требований к геометрии, так как они удовлетво ряются автоматически, если только справедливы урав нения (53):
В конечном итоге оказывается лишь шесть уравнений для десяти величин gap. Такое заключение первоначально оттолкнуло Эйнштейна от окончательной формы уравнений поля [29], и поэтому он сначала опубликовал
2 Gm
С2Г *
(54)
(56
Гравитация как геометрия (II)
167
[30] уравнения вида (43). На это Гильберт [31] указал, что уравнения для определения gap были бы совершенно неприемлемыми, если бы они действительно однозначно определяли эти величины. Ведь нам нужно определить геометрию и кривизну пространства — времени, а в каких координатах мы станем описывать эту геометрию, это уже несущественно. Ho если бы наши уравнения ПОЛНОСТЬЮ определяли все десять компонент gap> то из них следовала бы не только геометрия, но и те координаты, в которых эта геометрия должна быть выражена. Мы знаем, однако, что реальный смысл имеет только интервал между двумя событиями (например, между двумя точками пересечения мировых линий)
ds2 = ga9dxa dx(i. (57)
Вопрос же о том, как проводить координатные поверхности в пространстве — времени, это вопрос удобства и к самой физике не имеет отношения.
Свобода выбора координат проявляется в метрических коэффициентах
Свобода выбора координат находит выражение в том, что общее преобразование координат определяется четырьмя произвольно заданными функциями
X»= х»(х°, х\ X2t Xs) (JX==O, 1, 2, 3). (58)
Она проявляется и в свойствах метрических коэффициентов
— дха дхP /спч
Sax — ?<*Р д~а е~х • (59)
В различии между ga$ и gap и выражается тот произ-
вол, который допускается и должен допускаться при решении непротиворечивой системы уравнений гравитационного поля, если их рассматривать как уравнения для определения метрических коэффициентов. Если же эти уравнения считать определяющими геометрию, то никакого места для произвола не остается, коль скоро корректно заданы начальные условия.
168
Г лава 4
Задача начальных значений в электродинамике и в геометродинамике
Прежде чем рассматривать задачу начальных значений к геометродинамике, целесообразно вспомнить, каков подход к решению этой задачи в теории электромагнитного поля. Там все пространство берется в некоторый данный момент — говоря более общим образом, все величины рассматриваются на некоторой пространственноподобной гиперповерхности. Во всей этой трехмерной области задаются напряженности электрического и магнитного полей. Уравнения Максвелла позволяют на основании этих начальных данных определить всю будущую эволюцию (и всю прошлую историю) рассматриваемого поля. Для этого нужно только, чтобы наши начальные данные были корректно определены, т. е. (в случае пространства, не содержащего зарядов) они должны удовлетворять уравнениям для начальных значений
во всей рассматриваемой трехмерной области.
Внутренняя геометрия
Подобным жё образом задача начальных значений формулируется и в геометродинамике1).
