Гравитация и относительность - Цзю Х.
Скачать (прямая ссылка):
Объем, занимаемый скоплением пробных частиц
Рассмотрим скопление настолько большого числа пробных частиц, чтобы с их помощью можно было определить границу элемента объема. Пусть в некоторый начальный момент эти частицы находятся относительно друг друга в покое. Тогда гравитационное поле вызовет появление относительных ускорений между этими частицами в данной области. Поэтому элемент объема будет менять свою форму пропорционально второй степени собственного времени т. В локально лоренцовой системе отсчета относительное измененне его протяженности в направлении оси х будет равно
—гг /^1OiO- (40)
Аналогичным образом будут меняться и поперечники нашего элементарного объема в направлениях осей у и z. В качестве примера рассмотрим скопление частиц, свободно падающих на Землю с высоты нескольких сотен километров. Размеры этого скопления в направле-
1J Cm. [25], разд. 17, где указана литература о построении тензоров из компонент тензора кривизны Римана.
160
Глава 4
ниях лг и у сокращаются (фокусирующее влияние притяжения Земли), поперечник же его в направлении оси z растягивается (Земля притягивает нижние частицы сильнее, чем верхние). Легко показать, что скорость растяжения в направлении оси z в два раза превышает скорость сокращения элемента объема в направлении осей лг и у. Поэтому сам объем по своей величине не изменяется (с точностью до второго порядка по времени включительно), пока мы говорим о пространстве, в котором нет ни вещества, ни излучения.
Сжатие вещества под действием тяготения
Пусть наше скопление пробных частиц заполняет теперь область пространства, занятую пылью или другими источниками массы — энергии. Тогда материя внутри скопления будет стремиться сблизить частицы, тогда как внешнее распределение материи не будет влиять на величину объема во втором порядке по времени. Другими словами, коэффициент объемного сокращения
R ою + R020 Ч~ ш — R0Qoo -f- R1OiO -f- /?2о2о R\^o = Roo (41)
является прямой мерой плотности массы — энергии T0Q. Теория всемирного тяготения Ньютона дает для относительного изменения объема простое выражение1), из
которого следует, что коэффициент сокращения объема равен
Roo = Tqo- (42)
Если бы этот вывод был верным, то из соображений ковариантности уравнения гравитационного поля следовало бы писать в виде
Rnv — 4л T|xv (43)
1J Необычайно правдоподобный характер квазиньютоновских доводов, приведенных в тексте в пользу неправильных уравнений поля, показывает необходимость истинной квазиньютоновской аргументации (пока еще никем не предложенной) в пользу правиль-
ных уравнений поля.
Гравитаций кйк &едметрия (II)
161
Первый выбор уравнений гравитационного поля неудачен
В чем недостаток уравнения (43)? Можно сразу же сказать, что уравнение неверно, если в нем скаляр при* равнивается вектору. Неверно и то уравнение, в кото* ром приравниваются друг другу вектор с ротором, равным нулю, и вектор с ненулевым ротором. Что же касается уравнений (43), то в них тензор Rlivi ковариант-ная дивергенция которого, вообще говоря, отлична от нуля, приравнивается тензору Tvivf ковариантная дивергенция которого равна нулю!
Тензоры, ковариантные дивергенции которых равны нулю
Каков смысл утверждения, что ковариантная дивер* генция тензора равна нулю? И какая геометрическая величина должна быть взята вместо свернутого тензора кривизны или тензора Риччи Rixv для того, чтобы получился тензор с нулевой ковариантной дивергенцией?
Выберем в точке P пространства — времени временноподобное направление dxa/dr. Рассмотрим элемент трехмерного пространства
d30a = Y^g Eam du dv dw, (44)
ортогональный этому временноподобному направлению1). Зададим себе вопрос: какое количество энергии и импульса содержится в этом трехмерном объеме? В энергетических единицах оно равно
ГаЛ„. (45)
Сравним эту величину с выражением для энергии и импульса, содержащихся в подобной же области, сдвинутой вперед во времени на интервал dx. Простое сравне-
1J Символ Леви-Чивита еар^ равен 1, когда а=0, P=If 6=3, и изменяет свой знак при перестановке любой пары индексов.
И Зак. 1740
162
Г лава 4
ниє таких двух четырехмерных векторов незаконно, так как они взяты в разных точках пространства — времени. Для сравнения необходимо перенести их в одну и ту же точку путем параллельного переноса. Поэтому изменение энергии — импульса определяется не простой разностью значений тензора 7^а, а ковариантной разностью. Сравнивая это изменение с количеством энергии— импульса, перешедшим за рассматриваемый интервал времени через границы области (что следует учесть также ковариантно, используя параллельный перенос величин в одну общую точку), и полагая результирующее изменение равным нулю, мы получим кова-риантную запись обычного принципа сохранения энергии и импульса 1J:
T^a = 0. (46)
Выражение Картана для геометрического тензора с равной нулю ковариантной дивергенцией
Картан [28] предложил следующий общий рецепт построения геометрической величины, обладающей теми же самыми тензорными свойствами, что и Tviv, включая равенство нулю ее ковариантной дивергенции:
