Отрывные течения. Том 1 - Чжен П.
Скачать (прямая ссылка):
особенности этого нового ряда заключаются в следующем.
Главный член ряда точно удовлетворяет условиям на внешней границе во всех
поперечных сечениях вдоль стенки, следовательно, последующие члены дают
поправки лишь для внутренней части пограничного слоя.
Преобразование к новым независимым переменным и % приводит к такой
формулировке задачи, что заданные условия каждой частной задачи входят в
явном виде только в одну функцию, так называемую определяющую функцию
пограничного слоя. Эта определяющая функция имеет вид
X
| ие (х) dx
и оказывает основное влияние на структуру решения в виде ряда.
Функции, являющиеся коэффициентами нового ряда, могут быть представлены в
виде линейных комбинаций универсальных функций. Для любого фиксированного
значения |3 (0) = |30 эти функции не зависят от заданных условий. Поэтому
для каждого значения (3 (0) они могут быть затабулированы раз и навсегда.
Следовательно, применение новых рядов в каждом конкретном случае связано
с нетрудоемкими вычислениями, столь же простыми, как применение любого
нестрогого метода типа метода Поль-гаузена. Благодаря их простоте они
предпочтительны при решении различных прикладных задач.
Точка отрыва определяется следующим образом.
Характеристики течения до начала отрыва точно выражаются с помощью
нескольких членов нового ряда с последующей приближенной экстраполяцией
или, более точно, с помощью одного или двух шагов разностного метода.
Точность определения точки отрыва с помощью новых рядов обусловлена
преимуществами степенных рядов. Новый ряд Гёртлера сходится значительно
быстрее, чем ряд Блазиуса, и является более общим, так что с применением
ряда Гёртлера решено большое число практических задач, для которых до сих
пор не были получены точные решения уравнений пограничного слоя.
На практике большинство задач отрыва потока с положительным градиентом
давления на плоской пластине можно достаточно точно решить с помощью
членов до пятого порядка вплоть до начала отрыва с последующим
применением короткой экстраполяции. Сходимость нового ряда выгоднее всего
использовать для случаев с монотонным ускорением или замедлением внешнего
потока.
96
ГЛАВА II
Однако при решении задачи об обтекании цилиндра (когда можно использовать
ряд Блазиуса) новый ряд Гёртлера не обладает лучшей сходимостью в
поперечных сечениях за точкой минимума давления по сравнению с рядом
Блазиуса. Тем не менее первый член нового ряда дает хорошее приближение
на значительно большем удалении от передней критической точки, чем первый
член ряда Блазиуса.
С помощью нового ряда можно найти решения не только для таких
установившихся ламинарных течений несжимаемой жидкости, как течение вдоль
плоской пластины с произвольным градиентом давления или обтекание
цилиндра, но и для течений сжимаемой среды [36], для пограничного слоя с
произвольно распределенным непрерывным отсосом с поверхности стенки [37],
для установившихся ламинарных течений несжимаемой жидкости около тел
вращения [38] и для расчетов теплового пограничного слоя [39].
Ниже даются некоторые подробности вывода нового ряда и его применения для
решения задачи об отрыве ламинарного потока.
Уравнения двумерного установившегося ламинарного пограничного слоя в
частных производных имеют следующий вид: уравнение неразрывности ди dv "
Ту = '
уравнение количества движения
ди , ди , , ди" , д2и
и-----rV - = Ue(x) - + V--5 .
дх ду х'дх ду2
С введением функции тока тр, определяемой следующим обра-
зом:
удовлетворяется уравнение неразрывности, а уравнение количества движения
принимает вид
d-ф даф Эф даф __ due ,
ду дх ду дх ду2 е dx ду3 ' ' '
Граничные условия суть и (х, у) = v (х, у) = 0 при у = О,
и (х, у) = ие (х,'у) при у -> с"
(О < х < xs).
Передняя критическая точка расположена при х = 0 и у - О, где
разветвляется набегающий поток, х = xs - наиболее удаленная по течению
исследуемая точка, ах = х8та у = 0 в общем случае будут соответствовать
точке отрыва ламинарного пограничного слоя. С использованием функции тока
ф граничные условия при-
ОТРЫВ ЛАМИНАРН. ПОТОКА ЖИДКОСТИ НА ДВУМЕРНЫХ ПОВЕРХ. 97
нимают вид
ф (ж, 0) = 0, ф (х, У) = ~^ (х, у) = 0 при у = 0
и
Зф
(х, у)-+иР{х), (0<a:<a;s) при у-+оо.
Чтобы решение было единственным, в начальном поперечном сечении х - 0
должен быть задан профиль скорости и (х, у).
В процессе решения уравнений в частных производных применяются следующие
независимые и зависимые переменные в безразмерном виде:
X
1 = 4 [ ue(x)dx = h, ц = ±ие(х)у, (22)
Ф(1 ,л) = ^ф(*,у), =
(23)
"Os ^ _ ue{x)v(x. y)-\-{duR(x)ldx}.y.u{x, у)
- и1(х)
Преобразование (22) является однозначным, если ие (х) > 0 и ие (х) = 0
при х = 0.
Если обратить уравнение (23), то получим
где
й v (d"e (я)/<*я)
Pl5j и* (ж) •
В этих новых переменных уравнение (21) и граничные условия принимают вид
дф даф аф ^ В (j) (1 \ 4- (24)
дг\ dgdrj д% dp2 \ drj2 / дт]3 '
"(0CiCl)s). (25)
ф (1, л)=4^- (?> *0=0 при р=0
Or|
4^(1,Л)-^1 при Ц->- сю, аг\
