Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
постоянные коэффициенты, а характеристическое уравнение имеет нулевой
корень второй кратности с непростым элементарным делителем, был
рассмотрен Ляпуновым г) для п - 2. Другие критические случаи исследовали
И. Г. Малкин 2) и Г. В. Каменков 3). Случаи эти, как представляющие
специальный интерес, мы рассматривать не будем.
*) Ляпунов А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об
устойчивости движения // Мат. сб.- 1883,- Т. 1, № 2 // Л я п у-нов А. М.
Общая задача об устойчивости движения.- М.: Гостехиздат, 1950.
2) Малкин И. Г. Некоторые вопросы теории устойчивости движения в смысле
Ляпунова//Сб. тр. Казан, авиац. ин-та.- 1937.- № 7.
М алкин И. Г. Некоторые основные теоремы теории устойчивости движения в
критических случаях// Прикл. мат. и механ.- 1942.- Т. 6, № 6.
3) К а м е н к о в Г. В. Об устойчивости движения // Сб. тр. Казав,
авиац. ин-та.- 1939.- № 9.
ГЛАВА 9
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Характеристичные числа функций
Методы исследования устойчивости неустановившихся движений разработаны с
меньшей полнотой, чем методы, предложенные для установившихся движений.
Имеющиеся здесь теоремы существования, не решая вопроса эффективно, дают
в известном смысле ясное представление о том, что может или должно иметь
место, а этого в отдельных задачах достаточно для их полного решения.
61 [61. Будем рассматривать функции х вещественного переменного t,
определенные для всякого t, большего или равного t0. Причем будем
рассматривать только такие функции, для модулей которых при изменении t
от t0 до какого угодно данного числа Т, большего t0, существовали бы
высшие границы.
Функцию называют ограниченной, если ее модуль при t>t0 остается всегда
меньше некоторой постоянной. Функцию, модуль которой может делаться
большим всякой данной положительной величины, как бы она велика ни была,
называют неограниченной. Ограниченную функцию, которая с беспредельным
возрастанием t стремится к нулю, называют исчезающей.
Непосредственно из этих определений вытекают предложения:
Если х есть ограниченная функция t, то хе~и при всяком положительном X
есть функция исчезающая.
Если х не есть исчезающая функция t, то xelt при всяком положительном X
есть функция неограниченная.
Лемма. Если
z = хе*'1
представляет функцию, исчезающую при Х~Хх и неограниченную при Х~Х\
причем Хх и X' суть некоторые вещественные постоянные, то всегда возможно
найти такое вещественное число Х0, что функция z при X = Х0 + е будет
неограниченной для всякого положительного постоянного е и исчезающей для
всякого отрицательного постоянного г.
136
ГЛ. 9. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ
Доказательство. Между числами и X' всегда можно вставить два бесконечных
ряда чисел:
неубывающий: Хи Х2, Х3, ... и невозрастающий: X', Х",Х"', . . .,
таких, чтобы каждое число первого ряда было меньше каждого числа второго;
чтобы функция
хехп1
для всякого п была исчезающей, а функция
xe^n)t
для всякого п была неограниченной и, наконец, чтобы разность
*<"> - к
для достаточно большого п была сколь угодно малой. Этого можно достичь
последовательными вставками пары чисел на интервалах (A,s, X(s)).
Эти два ряда определяют сечение Х0, не меньшее ни одного из чисел первого
ряда и не большее ни одного из чисел второго. Число Х0 и будет искомым.
Это число Ляпунов предложил называть характеристичным числом функции х.
Если хеи есть исчезающая или неограниченная функция при всяком
вещественном X, то условимся в первом случае характеристичному числу
приписывать значение +оо, во втором -ос. Примеры.
Для всякой отличной от нуля постоянной характеристичное число есть нуль.
Для всякой ограниченной функции характеристичное число есть нуль.
Для полинома конечной степени характеристичное число есть нуль.
Для функции sini характеристичное число равно -1.
Из определения характеристичного числа следует, что если надлежащим
выбором f, больше произвольно заданного числа, величину | X - /(f) |
можно сделать сколь угодно малой и если при этом для всякого
положительного постоянного е, как бы мало оно ни было, можно найти такое
число Т, что X - / (f) < е для всех t^>T, то А, есть характеристичное
число функции e~W>.
62 [6]. В случае, когда характеристичные числа данных функций конечны,
можно доказать следующие предложения:
Характеристичное число суммы двух функций равно наименьшему из
характеристичных чисел этих функций, когда эти числа различны, и не
меньше их, когда они равны.
В самом деле, пусть Х^ и Хг суть характеристичные числа функций и ж2 и
пусть Хх < Х2. Тогда функция
(jEj -f- х2) = а:1е<1'1+е)< + х2е^-г+г^1,
ХАРАКТЕРИСТИЧНЫЕ ЧИСЛА ФУНКЦИЙ
137
где Л = - ^2 + е* будет исчезающей для всякого отрицатель-
ного постоянного е. Поэтому характеристичное число суммы хх + + хг во
всяком случае не меньше кг. Если характеристичные числа kt и к2 не равны
между собой, то делая е положительным и удовлетворяющим неравенству
О <Ц е <С ^2 - ^1"
имеем, что при этом ц будет отрицательно и, следовательно, первое
