Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
s
(г = 1,... , т - 1).
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
123
Функция W определяется однозначно, так как все корни уравнения
И Яи - II = 0
имеют отрицательные вещественные части (п. 34). Функции
WW W(т-1>
определяются последовательно в порядке возрастания указателя г.
Предполагая, что все предшествующие функции ТГ<м-) для некоторой
определены, имеем для определения уравнение
djyO) dW^
qq + ^ (?*А • • • ~г Q$nzn) = -^izi "Г • • • 4~
Anzn,
S &
в котором А будут известными конечными рядами синусов и косинусов целых
кратностей 0. Отсюда для определения коэффициентов а формы
= ajZj + . . . + anzn цолучим следующую систему уравнений:
da
^0 Ь (Zls(r)l Т • • • "Ь 9ns(r)ti ^ -4S is - 1, . . . , ft).
Так как характеристическое уравнение этой системы не имеет чисто мнимых
корней, то существует и притом только одно такое решение, в котором все а
будут конечными рядами синусов и косинусов целых кратностей 0.
При таком определении W, WW величина найденной производной при условии г
> 0 представит функцию, знакоопределенную по отношению к z, zu . . ., zn
при достаточно малых числовых значениях z, zlt . . ., zn и имеющую знак
постоянной g. Если g отрицательно, то при z ^ 0 функция V будет
определенноположительной по отношению к z, zlt . . ., zn, так как
согласно п. 35 функция W будет определенно-положительной относительно
переменных zlt . . ., zn. Напротив, если g ]> 0, то W будет определенно-
отрицательной относительно переменных zlt . . ., zn; функцию же V выбором
z ]> 0, zx = 0, . . ., zn = 0 можно сделать положительной, т. е. одного
знака с g; функция V допускает бесконечно малый высший предел.
Отсюда в силу теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости мы должны
заключить, что в случае отрицательного g невозмущенное движение устойчиво
по отношению s z, z" . . ., zn, а тем самим и к г, хи хп, и всякое
достаточно близкое возмущенное движение стремится к нему асимптотически,
а в случае положительного g невозмущенное движение неустойчиво.
57 [36]. Для действительного вычисления постоянной g нет необходимости
непременно идти указанным путем. Для этой
124
ГЛ. 8. ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЯ
цели предпочтительнее рассматривать непосредственно уравнения (29).
Введем новую независимую переменную т вместо t: t - t0 = -Ь- (1 -f h2c2 +
h3cs -f . ..);
коэффициенты h остаются пока неопределенными; с есть некоторая
постоянная. Значениями постоянных h распорядимся так, чтобы
преобразованным уравнениям (29)
-гг = (- " + ir)*1 + h2°2 + ¦••)'
тг = (х + т-^1 + + •••).
dx / X \
-JT = (?*А + • * • + gs А + asx -f- bsy + -J( 1 -f К с2 +•••).
где qsr, as, bs имеют прежние значения п. 54, удовлетворяли ряды
X = з^с -f- х№сг + . . ., у = yWc -f- у<*>с* + . . .,
Xs - х(рс + х^с2 + . . .,
в которых все функции у№, xi^ были бы периодическими функциями т с общим
периодом 2л и не зависели от постоянной с.
Для последовательного определения функций у^\ х^}
при этом получаются уравнения
J^L==._j,(r)_Ar_lj,(" + x(r),
= *с-> + hr-lXm + Г(г), (33)
йг(г)
-JT~ = ЯвЛг) Н b Qsn^n + Xf >
(s = 1,. .., щг = 1,2,...),
где Х<г>, У(Г> будут некоторыми известными целыми рациональными функциями
от всех хб*>, у^\ х^, имеющих верхний значок р меньше г, и будут зависеть
от всех постоянных hj, для которых / < г - 1. Функции Х<г) дополнительно
будут зависеть от а:(Г), у<г> и hr_х. При этом следует положить: h0 = 0,
= 0,
XW = 0i Y<i) = 0.
Если допустить, что из уравнений для г = 1, . . ., m - 1 вычислены
последовательно все функции х<^>, ^в), а:(8й), для которых р <; т, и все
постоянные hj, для которых /<т - 1, то для определения функций ?<"*>,
у(т\ х[т) и постоянной hm^x
КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
125
будем иметь из уравнений (33) систему, отвечающую г = т.
Из последней видно, что если можно будет найти периодические
х<т\ у(т>, то функции x(sm) всегда возможно будет найти периодическими,
так как все корни уравнения || qtJ - 6(;х || = 0 имеют отрицательные
вещественные части и, следовательно, уравнения (s = 1, . . ., п; г - т)
при таких предположениях не будут принадлежать к случаю резонанса.
Уравнениям, которые получаются для определения х(1), у*1), всегда можно
удовлетворить предположением
Х<!> = COS Т, у<*> = sin т.
Дальнейшие вычисления хб*), у(|1) можно будет вести так, чтобы оии
делались нулями при т = 0. Останавливаясь на таком предположении,
заметим, что Х(т\ Y<m1 представятся тогда в виде конечных рядов синусов и
косинусов целых кратностей т:
^ cog т ^ gjn т _J_ ^
F(m) = Вх cos х В2 sin т -f- . . .,
где А1уА2, В1у В2у . . . суть некоторые известные постоянные. Предполагая
x<m> = ах cos т -f а2 sin т -f- . . . , у*(tm)) = Ьх cos х + b2 sin т + ...,
т уравнений (33), отвечающих г = т, для определения постоян ных а1У а2,
bly b2, Лт_х получим соотношения
а2 + - А1у -ах + Ь2 -f Ащ-! = А2,
~ A2i fitj Ь2 В^.
Соотношения эти будут совместны только при условии
At + В2 = 0.
Когда последнее выполнено, функции х(ГП>, у(т> можно будет определить,
