Устойчивость движения - Четаев Н.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Исследования Н. Н. Боголюбова, К. П. Персидского, Н. П. Еругина, М. Г.
Крейна, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского и др. заслуживают отдельных
книг, написанных в свойственном авторам стиле изложения.
*) Н е м ы ц к и й В. В., С т е п а н о в В. В. Качественная теория
дифференциальных уравнений.- М.: Гостехиздат, 1949.
г) М а л к и н И. Г. Методы Пуанкаре и Ляпунова в теории нелинейных
колебаний,-М.: Гостехиздат, 1949; Малкин И. Г. Теория устойчивости
движения,- М.: Гостехиздат, 1952.
а) Лурье А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического
регулирования.- М.: Гостехиздат, 1951.
*) Дубошин Г. Н. Основы теории устойчивости движения.- М.: Изд-во МГУ,
1952.
5) АйзерманМ. А. Теория автоматического регулирования двигателей.- М.:
Гостехиздат, 1952.
в) ГантмахерФ. Р. Теория матриц,- М.: Наука, 1988.
*) Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.- М.:
Гостехиздат, 1955.
ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
Два замечания
1. Динамика является наукой о действительных равновесиях и движениях
материальных систем. Галилей и Ньютон открыли ее начала и показали их
достоверность опытами над падением тяжелых тел и объяснением движений
планет. Но не каждое состояние механической системы, отвечающее
математически строгому решению как уравнений равновесия, так и
дифференциальных уравнений движения, наблюдается в действительности.
Никто, например, не видел, чтобы тяжелый карандаш стоял вертикально на
гладком, горизонтальном столе, опираясь на свой остро отточенный конец.
Ненаблюдаемость состояний, отвечающих подобным строгим решениям,
объясняется неучитываемыми малыми силами и незначительными отклонениями в
начальном состоянии материальной системы, какие в действительности
неизбежно существуют и возмущают равновесия и движения в одних случаях
слабо, а в других сильно. Равновесия и движения, слабо изменяющиеся при
возмущениях, были названы устойчивыми, а прочие неустойчивыми.
Общего принципа для выбора решений, отвечающих устойчивым состояниям, в
механике не было дано; она приняла характер науки об идеализированных
системах и для своего строгого применения к нашей природе принципиально
каждый раз требует решения задач устойчивости. Лишь Торричелли в статике
рассматриваемых в его время тяжелых тел предлагал принцип, корни которого
теряются в глубокой древности и который давал лишь устойчивые положения
равновесия.
Принципу Торричелли обязан своим происхождением другой принцип, которым
воспользовались для решения с большой легкостью различных вопросов
статики. Этот принцип заключается в следующем: в системе тяжелых тел,
находящихся в равновесии, центр тяжести занимает относительно наиболее
низкое положение, какое только возможно х).
Лагранж Ж. Аналитическая механика. Т. 1: Пер. с фр.- 2-е изд. - М.:
Гостехиздат, 1950.- (См. ч. 1, отдел 1, п. 16).
8
ГЛ. 1. ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ
В динамике подобного принципа для отбора строгих решений, отвечающих
устойчивым движениям, дано не было, хотя задачей устойчивости занимались
многие выдающиеся механики - Лагранж, лорд Кельвин, Раус, Жуковский,
Пуанкаре. Лагранж обобщил принцип Торичелли, доказав теорему об
устойчивости изолированного равновесия механической системы, когда
силовая функция действующих на систему сил имеет максимум в этом
положении равновесия. Раус, развивая метод игнорирования циклических
координат, путем простого переноса указанной теоремы Лагранжа нашел
критерий устойчивости для некоторых циклических движений.
Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке
разрешил Ляпунов в своем знаменитом сочинении "Общая задача об
устойчивости движения" (Харьков, 1892) !).
2. Содержание инженерного искусства также ставит вопросы о
действительности намеченного к реализации проекта, который опирается по
существу на некоторое решение либо уравнений равновесия, либо
дифференциальных уравнений движения задуманной механической системы.
Необходимость решения этих вопросов неизбежно приводит и технику к
задачам устойчивости, поскольку реализация проекта сопровождается
некоторыми допусками в изготовлении, а само инженерное сооружение
вынуждено работать под воздействием сил, не учитываемых полностью в
проекте.
Например, если конструируется пассажирский самолет, то его проектным
движениям нужно обеспечить известного рода устойчивость, чтобы тем самым
получить машину, спокойную в полете и безаварийную на взлете и посадке.
Коленчатый вал нужно рассчитать так, чтобы он не поломался от вибраций,
какие могут возникнуть в реальных условиях работы двигателя. Чтобы
обеспечить артиллерийскому орудию наибольшую меткость и кучность боя,
надо строить орудия, снаряды и мины так, чтобы была известного рода
устойчивость траекторий и правильность полета снарядов.
Можно привести много примеров, но они ничего не прибавят к тому, что при
решении вопроса о действительных движениях необходимо из возможных
решений уравнений механики останавливаться на решениях, отвечающих
