Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
где
PaUa = 0, MaUa = 0, (15.14)
а коэффициенты Фа, lFct, Tap удовлетворяют равенствам
(13.16), (14.11). Условия (15.14) не являются ограничением на вид функционала 6W*. Действительно, используя вытекающие из связей (15.4) соотношения
6 (иара) = иаЬра = 0, 6 (иата) = иаЬта = 0,
можно, например, провести тождественное преобразование члена РаЬра:
PaSpa = (Pa - UaUyPy) Spa = - YyPySpa.
В результате коэффициенты при вариациях 8ра будут удовлетворять первому равенству (15.14). Аналогичное рассуждение справедливо для члена Ма6та. Смысл условий (13.16), (14.11) тот же, что и в § 13 и 14, но при обосновании последнего равенства (13.16) наряду с соотношениями (13.18), (14.12) следует учесть, что вариации 6ema, соответствующие бесконечно малому преобразованию Пуанкаре ГСК наблюдателя, равны нулю:
6еАх = 0, Sema = 0. (15.15)
Для рассматриваемой модели все вариации в вариационном уравнении (15.12) выражаются через вариации определяющих параметров (15.5)
6xv, 6фа, 6ф, 6г|эа, Ьра, 6 та, 6Ла (15.16)
и производные от них по координатам. Система вариаций
(15.16) не является независимой, так как параметры фа, Pa* Wa должны удовлетворять связям (13.5), (14.3),
(15.4). Учитывая их методом неопределенных множителей Лагранжа, к левой части вариационного уравнения (15.12) следует добавить функционал
SR=I J |Х(ф)б (иасра) + Xw S () +
V/%-
+ k{p)S (иара) + 1{т)Ъ (uama)] Vr^gd1I. (15.17) В результате исходное вариационное уравнение примет
вид
6/+6Г* + 6№ + 6Я=0. (15.18)
'Wt СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Динамические уравнения для непрерывных процессов.
Вычислим вариацию действия для рассматриваемой модели сплошной среды, используя формулы (15.2), (15.8), (15.10), а также выкладки, проведенные в § 13 и 14. В результате найдем, что
67 “ M {I v3 № + Pmt + PZ + Яар)1 Ьха -
V/їс
_LaV V??!L} F иа^--
[Yv J ^ ds av Vv
-[vPT?+ I Ja\M«+[ryau«-P^}bpy +
+ [I ^u6Fafi + f-p-™-}6mY} V~gd4_
-j J {[71? + P?l + PZ + Pap] Sxa + PavpV ybxa + <>v + t±
Здесь Я“р — компоненты тензора индукции электромагнитного поля:
Wap = Fap + 4лЛ1“р. (15.20)
Входящие в выражение для 6/ компоненты Pap по-прежнему определяются равенством (13.26), в котором теперь для функции U надо использовать ее выражение в рассматриваемой модели.
Подставляя в вариационное уравнение (15.18) выражения (15.19), (15.13) и (15.17) для соответственно б/, и бR, вычисляя множители Лагранжа1) и используя тождества (13.29), найдем систему динамических уравнений
1) Для этого надо умножить соответствующие уравнения Эйлера на иа или и„. В результате получим
^<Ф> “ *“О* ^ipj “РИу dUjdpy, Kim^puydU/дту.
§ 15]
ПОЛЯРИЗУЮЩАЯСЯ СРЕДА
223
для непрерывных процессов и функционал 6W:
VpT-P = O, Т“Р = Т$ + PfM, + + яар-т“Р; (15.21)
Первое уравнение (15.21) с учетом второго равенства
(15.21) представляет собой уравнение движения проводящей, поляризующейся и намагничивающейся среды с гиромагнитными свойствами в электромагнитном поле. Ниже будет показано, что оно совпадает с уравнением энергии-импульса, вытекающим из теоремы Нётер, причем компоненты Ta^ можно интерпретировать как компоненты тензора энергии-импульса рассматриваемой среды и электромагнитного поля. Первое уравнение (15.22) является определением абсолютной температуры, а второе при Фу — = %~ХТ Sy = JT1Qy представляет собой релятивистское обобщение закона теплопроводности Фурье (см. § 13). Первое уравнение (15.23) при Ty = Y-Vy является законом электропроводности Ома, записанным в четырехмерной форме (см. § 14). Второе уравнение (15.23) вместе с соотношениями (5.35), (15.2), (15.20) образует систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в проводящей, поляризующейся и намагничивающейся среде, записанную в четырехмерной форме 1J. Соотношения (15.24) после задания величин Pyt My (см. ниже) представляют собой законы поляризуемости и намагничивания среды, которые служат для определения компонент 4-векторов рау ша
1) Если использовать в качестве определяющих параметров наряду с компонентами Aa еще компоненты Fa&, считая вариации бAa, 6Fa& независимыми, то можно так выбрать лагранжиан, что и первое соотношение (15.2) будет получаться в качестве уравнений Эйлера (при [20]
224
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
[ГЛ. 5
и 4-тензора Ма&. Из второго уравнения (15.24) следует, что влияние электромагнитного поля с тензором напряженности на намагниченность среды с гиромагнит-
ными свойствами (Г =^oo) эквивалентно ее вращению с 4-вектором угловой скорости
ю = j ГгУ^и^Эу = - ГЬаЭа.
Наоборот, влияние вращения такой среды на ее намагниченность эквивалентно включению магнитного ноля с 4-вектором индукции 6 = — Г-1©. Замыкающие систему уравнений (15.21)-(15.24) законы, которые можно использовать для определения величин Tap, Фу9 Ty, Py, My9 рассмотрены ниже в настоящем параграфе.
Условия на разрывах. Как и в предыдущих двух параграфах, ограничимся исследованием разрывов, на которых функции xv(?Y) непрерывны. Рассмотрим кинематические соотношения, связывающие между собой значения вариаций определяющих параметров на двух сторонах гиперповерхности разрыва Sc. Для вариаций Sxv9 6фа, Stya9 SAa по-прежнему примем соответственно условия
