Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
(14.6), (13.26), (14.15), (14.46) и (14.50) имеем
— (ЗХ + 2^) = 0.
Отсюда находим, что для электро- и теплопроводного вязкого ультрарелятивистского газа
3b + 2(i = 0, t/ = c(s, Z, Ш-\ кв)Ур. (14.51)
Рассмотрим более подробно модели газа (не обязательно ультрарелятивистского); для которых функция U не зависит от аргументов Z, |5|2, |/|2, -(Sj). Тогда она совпадает с удельной плотностью внутренней энергии газа, а полученные выше выражения для компонент тензора энергии-импульса газа и электромагнитного поля и компонент 4-вектора плотности электрического тока проводимости принимают известный вид
= р[/ыаыр + руар + 7 «<а<7р> - Tap + Т^р). ^14 52j
/а = у Fa^Up.
Входящие сюда величины р9 cft9 Tap по-прежнему определяются обычными равенствами (13.71). Скаляр р называется давлением газа, причем для ультрарелятивистского газа справедлив известный закон (13.72). Удельная плотность свободной энергии газа F определяется равенством
(13.73) и удовлетворяет соотношениям (13.74). Для совершенного газа функции Ut F задаются формулами (13.75). В этом случае имеют место известные уравнения состояния совершенного газа (13.76), причем для ультрарелятивистского газа Cv = SR9 U0 = 0.
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
215
Если функция U в выражении (14.1) для лагранжиана не зависит от аргументов Say Zy /а, то рассмотренную общую модель нелинейно-упругой электро- и теплопроводной вязкой среды и электромагнитного поля можно построить, не вводя параметров переноса и производства энтропии фу, ф и параметров электрического тока г|эу [20—23]. В изложенной выше процедуре построения модели для этого следует: взять в качестве определяющих параметров вместо функций (14.4) функции xv(?Y), 5(Ey) и Aci(Iy)y опустить в выражении (14.1) для лагранжиана член C-lJaAa и переопределить функционал 6W*
6Й7*=1 J jpT 6S + — \ TS<aue>j Vp Sxa —
Vixc
При таком подходе, однако, невозможно получить на разрыве второе и третье условия (14.30), которые должны теперь задаваться на основе дополнительных гипотез.
Переход к ньютоновской механике. Рассмотрим переход к ньютоновской механике в случае, когда все параметры кв ортогональны 4-скорости среды и, следовательно,
““ = Цат u“ = °> U = U(p, Yob. -S, Sa, Z,/°, хв),
Т“Р = ^(С)ыаыР+|(~5<“ыР>+^/<«иР>]-/?“Р+7’^), (14.53)
pap . _ р + dU_ sa + dU_ jaJ Yap + р <Ю_ Y<aYB> +т«э.
Так как MpSp == мр/р = = 0, то в любой ГСК Xv
выполняются равенства типа (13.81)
SO = vJLS*, j« = Vfjk, = р00 = ^р^ (14 54)
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим в пространстве событий произвольную точку х* и выберем собственную для нее ГСК x*v так, чтобы в трехмерном физическом пространстве, соответствующем ГСК наблюдателя Xvy оси х*к были параллельны осям хк. Тогда относительно ГСК x*v уравнения (14.18)-(14.21), (5.34) и
(14.46) в рассматриваемой точке х* с учетом выражений
216 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД (ГЛ. 5
(14.53), (14.54) и (5.5), (5.38) примут следующий вид:
d?tr\ , 2 /dk' ди Л* fdvk\*
-JO*-+ $(0 {dkV*)* +Qii ) y-gfj =
= p*k* (d9vk)* -dt (g S* + + /**??,
I Г /д»*Д* t /dtv\* д IdU <??/ \*1
?М-зг) -^(w) + *?5*+^/*) J = (14-55> =ajp*** - ^ (? s<*+g /<»)* (а,о*>)* +
+ р ZE% + у ekpij*pB*q\
p*k9=-p{p%+^sa+wia)6k9+
+р^дс2(*дсГ>+т***; (14-56>
= + g = T; (14.57)
^=-^ + a?g-irJrpf- + ig(^f; (14.58)
(3*В*)* = о, е*Р* (дрЕ9)* = - -і (?^)* ,
Bk = Bkt
, /яйч. <14-59)
<d*E*)* = *npZ, б*ю (dpB,)* = ?/« + ±("L) ,
Ek =
^*ers*‘ = -x<W, j*k=-VyVt
x*k<t = Xbk9bpnepn + 2|xe^.
Уравнение неразрывности (13.2) по-прежнему представляется в форме (13.82). При записи уравнений (14.55)—
(14.59) для производных от величин Sk, /*, ркч использовались равенства, аналогичные равенствам (13.87). Кроме того, при выводе уравнений (14.55) из уравнений (14.18) слагаемые [OvT^])* были преобразованы с учетом выражений (14.6) для компонент Т}1/) и уравнений Максвелла
(14.59), а при выводе соотношений (14.57) и (14.58) использовалось тождество (13.88). Для компонент yab, Sa по-прежнему справедливы выражения (13.89), а для компонент /“ — аналогичные им соотношения
/« = g*«/*v (J461)
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
217
Как и выше, представим плотность энергии среды &iC) в виде (13.90).
В отличие от модели, рассмотренной в предыдущем параграфе, уравнения, описывающие проводящую среду и электромагнитное поле, в собственной ГСК содержат наряду с членами, не зависящими от с и пропорциональными Cr2, также и члены, пропорциональные с-1. Как известно [17], преобразования Лоренца для пространственных координат и времени после пренебрежения малыми величинами, пропорциональными сг2, переходят в преобразования Галилея, описывающие свойства пространства и времени в ньютоновской механике. Поэтому для перехода к ньютоновской механике, очевидно, достаточно в уравнениях (14.55)-(14.60) опустить только слагаемые, пропорциональные Cr2, и затем перейти от ГСК x*v, собственной для рассматриваемой точки х*, к ГСК Xv, общей для всех точек х*, пренебрегая при преобразованиях тензорных компонент малыми величинами, пропорциональными сг2, и сохраняя члены, пропорциональные с~*. Если конкретное выражение для U0 зависит от с, то в нем также надо сохранить члены, пропорциональные сг1, опуская при этом величины более высокого порядка малости. При этом, например, может исчезнуть зависимость Uq от компонент Sa или ja. Если же число аргументов функции U0 не изменяется, то в результате получим следующие уравнения, описывающие рассматриваемую среду в рамках ньютоновской механики и инвариантные относительно преобразования Галилея с точностью до членов, пропорциональных сг2:
