Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
6Al=-lC f (? + 7 Г) V« бЛ V=g#t +
- 7 J [- С4-38»
%
Справедливость последних двух равенств в этом преобразовании вытекает из тождеств (9.37), (13.34) и кинематических соотношений на разрыве для параметров электри-
*) Cm. примечание перед формулой (10.19).
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
209
ческого тока г|эа (14.24). Для рассматриваемой модели лагранжиан, очевидно, имеет вид (10.25) и, как указывалось в § 10, дА/дАа = — Cr1Ja. При этом соотношение
(10.27) тождественно удовлетворяется в силу параметрического представления (5.14) для компонент Ja и кинематических соотношений (14.24) для параметров электрического тока г|эа. Доказательство этого факта аналогично приведенному доказательству равенства 6д/ = 0.
Получим инвариантное уравнение энергии и тождество для коэффициентов при вариациях в функционале bW*9 вытекающие из вариационного уравнения для действительных процессов. Как и в предыдущем параграфе, легко проверить, что к рассматриваемой модели применима общая теория, развитая в § 11 и 12. В частности, имеют место тождества (12.7) и (12.10). Входящие в них компоненты Ma9 определенные равенством (11.48), как и в предыдущей модели, оказываются равными нулю (см. равенство (13.55)). Компоненты Waf определенные равенством
(12.6), на основании соотношений (13.52) и (14.32), параметрических представлений величин Sy9 jy и выражений
(14.1), (14.34), (14.6), (14.16), (14.17), (14.2) для величин A, Ta^9 71?, T69 fi6, Jy можно представить в виде
+ Klt^+P^YSV + efv/v+ ' ^v)«“ +
+ (Vv) -JaAyUy. (14.39)
Подставим в тождество (12.7) выражения (14.1), (13.55)
(14.39) для Л, Ma, Wa и учтем, что в силу уравнений
(14.2), (14.18), (14.21), (14.34), выражения (14.6)
для и антисимметричности компонент Fa^ имеем
[с I I CFscMvUyI
JaAyUy — (Л YMv)J=VotVp|---------^-J=O1 (14.40)
VaT(lC) = - VaT%, - CupVaTfj?) = F^jy.
Используя затем выражение (14.36) для плотности внутренней энергии среды, уравнение неразрывности (13.2) и определения абсолютной температуры T и собственного времени, окончательно получим соотношение d й„ ( ди
210 СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. б
в котором Cja = TSrx- компоненты 4-вектора плотности потока тепла. Соотношение (14.41) можно рассматривать как инвариантное уравнение энергии, представляющее собой релятивистское обобщение уравнения притока тепла для проводящей сплошной среды в электромагнитном поле.
Подставляя в тождество (12.10) выражения (13.52),
(14.32) и (13.55) для величин \лАу Ma, МаА, Mqa и М\ отвечающие рассматриваемой модели проводящей среды и электромагнитного поля, получим равенство
T dw (Dv dyv Wy d^v а dxv
+ ««•«> Оно отличается от аналогичного равенства (13.59) наличием члена с dtyy/dT. Преобразуем второе и четвертое слагаемые в левой части соотношения (14.42) при помощи формул (13.60). Третье слагаемое в соотношении (14.42) преобразуем аналогично второму1). Учитывая затем параметрические представления (6.29), (6.28), (5.13) для диссипативной функции и компонент 4-векторов плотности внутреннего потока энтропии Sa и плотности электрического тока проводимости /а, а также выражение (3.36) для компонент 4-тензора скоростей деформаций еа§9 представим равенство (14.42) в окончательном виде:
O = -Syp-IyY + <14-43)
Оно отличается от аналогичного соотношения (13.61) для модели теплопроводной вязкой среды наличием члена, содержащего компоненты 4-вектора плотности электрического тока проводимости /а. Соотношение (14.43) представляет собой тождество, которому должны удовлетворять величины T9 Фу, Wyy TaP, присутствующие в выражении
(14.10) для функционала бW*y соответствующего модели электро- и теплопроводной вязкой среды и электромагнитного ПОЛЯ.
Необратимые процессы. Для завершения построения модели тепло- и электропроводной вязкой среды необходимо задать законы, определяющие независимо от динамических уравнений величины Фа, Ta, таР, входящие в выражение (14.10) для функционала bW*. Для этого,
*) Соответствующие равенства получаются из первого соотношения
в (13.60) путем замены величин qp\ фу на ^Fv.
ПРОВОДЯЩАЯ СРЕДА И ПОЛЕ
211
как и в предыдущем параграфе, используем общую теорию, изложенную в § 12. Рассматривая величины —T-1Oat
— T-1Way Т~1еа$ как обобщенные термодинамические силы Xb, а величины Say /®, таР как сопряженные им обобщенные потоки JBl легко видеть, что выражение
(14.43) для о имеет вид (12.11). Применяя общие линейные законы (12.21) для необратимых процессов, близких к обратимым, получим кинетические уравнения, которые можно использовать для определения коэффициентов Фа, xYay тяР в функционале бW*:
TSy = — /-(ФФ)Фа — Lj(DV)xYa +
Tjy = — ЬУчгф)Фа — Ljv^nxYoi + От)ва^ (14.44)
7V* = - L^y - LfemxVy + LflRV
Входящие в них феноменологические коэффициенты Lb> вообще говоря, являются тензорными функциями от определяющих параметров и их производных (например, от величин р, T = dU/dSy Uay Z7ap), а также от известных параметров кв. Эти функции задаются дополнительно на основании экспериментальных данных и теоретических гипотез. Указанные коэффициенты Lb должны удовлетворять условиям, обеспечивающим неотрицательность диссипативной функции оу а также равенствам (13.63) и равенствам
