Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Условия на разрывах. Чтобы получить динамические условия на гиперповерхности разрыва Sc, необходимо задать функционал 6Wy а также кинематические соотношения, связывающие между собой значения вариаций 8xv, 6q>Y на двух сторонах гиперповерхности разрыва t±l). Эти соотношения могут быть, вообще говоря, различными. В дальнейшем ограничимся исследованием разрывов, на которых функции xv (?Y) остаются непрерывными. Тогда их вариации, очевидно, также непрерывны2):
[6*4! = 8x1 - = 0- (13.33)
Рассматривая кинематические соотношения на разрыве для вариаций 6cpY, удобно различать два случая, когда на разрыве UaIa = 0 или UaIa Ф 0. В этих условиях можно не указывать сторону гиперповерхности разрыва, так как свертка UaIa может обращаться в нуль только сразу на обеих сторонах разрыва. Указанное свойство следует из третьего примечания к § 9 и тождеств
Ua = -^=-, VyVgm = V- g,
V Soo
(Ж-0-
(13.34)
1) Так как выражение (13.32) для 8И7 содержит вариации Sxa з
=SpvxS6xv и 6lPv-
2) Напомним, что [ Л ]± = Л+ — Л_, {А }1 = Л+-|- А_, где А— любая величина, у4+—ее значения на сторонах гиперповерхности разрыва.
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 179
В первом случае (при uala = Z0/ Kgoo = 0) 4-скорость сплошной среды и лежит в плоскости, касательной к гиперповерхности разрыва, которая, следовательно, состоит из мировых линий сплошной среды. Выберем CCK таким образом, чтобы уравнение гиперповерхности разрыва имело вид I1=Const1). Тогда среди компонент Ia ортогонального к гиперповерхности разрыва вектора / будет отлична от нуля только компонента Z1. Рассматривая гиперповерхность разрыва как бесконечно тонкий четырехмерный слой, в котором 4-вектор плотности потока энтропии, а также локальная скорость изменения энтропии являются ограниченными величинами, найдем, что поток энтропии через любую часть гиперповерхности разрыва непрерывен. Отсюда с учетом физического смысла параметров переноса энтропии фа (см. § 6) следует, что в указанной специальной CCK функция ф1(|у) остается непрерывной на рассмотренном разрыве. Это условие с учетом третьего тождества (13.34) и равенств Z0 = Z2 = Z3 = О можно записать в виде
{j7=}>°- <13-35>
На разрыве величина xv = dxvldl° представляет собой производную вдоль гиперповерхности разрыва от непрерывной функции и, следовательно, непрерывна. Поэтому функция Vg^ -VrSlivxfXxI также непрерывна. Так как
V—g = Vgoo Vy, а величины Iay фflIVy ведут себя при преобразованиях CCK как компоненты 4-векторов, то равенство (13.35), очевидно, выполняется в любой ССК. Варьируя его и учитывая тождество2)
«ММ---------в(^ї«ї).0, (13.36)
\V-el I «С «С <)•>/'
получим кинематическое соотношение для вариаций 6<pv на гиперповерхности разрыва при UaIa = О
g^|}+ = 0, UaIa = 0. (13.37)
*) Для гиперповерхности, состоящей из мировых линий среды, это всегда возможно.
2) Символы Леви-Чивита, представляющие собой числовые коэффициенты равные 0 или ± 1, и функции ?Y==S/Y(?*), задающие положение гиперповерхности разрыва относительно ССК, не варьируются.
180
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД
ГГЛ. 5
Во втором случае (при uala = UlVgao Ф О) 4-скорость сплошной среды и не лежит в плоскости, касательной к гиперповерхности разрыва, и мировые линии сплошной среды пересекают ее. Рассматривая гиперповерхность разрыва как бесконечно тонкий четырехмерный слой, в котором 4-вектор плотности потока энтропии является ограниченной величиной, и учитывая физический смысл параметров переноса энтропии фа (см. § 6), найдем, что на таком разрыве функции ф° (?Y) остаются непрерывными. Следовательно, их вариации также непрерывны:
[6ф°]1 = 0, иа1аФ 0. (13.38)
В это соотношение не входят величины Ф0Н. Отметим, что они не являются независимыми в силу условия иафа = 0, которое по определению должно выполняться по обе стороны гиперповерхности разрыва.
Условию (13.38) можно придать ковариантный вид. Для этого докажем тождество
(13.39)
которое будет использовано также при выводе динамических условий на разрывах. Используя формулы (9.13),
(9.6), (9.39), получим
Ч+ip=! 'А- <13-40>
На основании третьего примечания к § 9 и соотношений (9.12) имеем
м. — а п — A fl fk
'(1)+--/(1)-* '(2)+ '(3)-> '(3)+ (2)—> (13 4П
fa — fa fa — fa fa _ fa \ • /
Ml)+ MD—> '(2)+ '(3)- у '(3)+ '(2)—’
[к=їл:-[«-['АС=°- (13.42)
Из выражения (9.9) для ^6) и равенств (13.41), (13.42) вытекают тождества
1 д!
ш
I+ =
¦ fv і (t
(к)
(k)
Hk)
= 0. (13.43)
Учитывая соотношения (13.34), (13.40), (13.43) и равенство /[а/р] = 0, легко установить справедливость доказы-
$ 131
УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
181
ваемого тождества (13.39):
Так как = 0 при у = 0, то, умножая равенство
(13.39) на 6ф!? и учитывая соотношение (13.38), получим условие на разрыве для вариаций 69Y в ковариантном виде
Покажем, что оно эквивалентно исходному соотношению
(13.38). Для этого умножим равенство (13.44) на Y—g^*+ и преобразуем его левую часть с учетом тождеств (13.39),
