Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ІИ Ma Щ Mf Wf /* IC
~Т
Vy
1 Тм[Ч^
Ф? — ®v 0 0 6 r_.v 0 0 0
Vy v Vy
(13.52)
/о 4“ о Tv-Il 0 xlA) 6V
Рассмотрим законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения, вытекающие из однородности и изотропности пространства событий Минковского. Для вариаций (13.18) оказываются равными нулю вариации аргументов лагранжиана (13.1) и, следовательно, 68Л = 0. Кроме того, в силу выражений (7.13), (13.3) для S]/—g, Ьха и последних равенств (13.16), (13.18) имеем
бе К—g=Vz^g vA** = KzzMlM1 - V^g = о,
TapVjAxa = ^dv (хЧц + вц) =у T<«v>8V(l = 0.
УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА
185
Поэтому beI = beW*=0. Легко также проверить, что вариации (13.18) принадлежат к числу вариаций, допускаемых связями.
Таким образом, для вариаций (13.18) все условия теоремы Нётер удовлетворяются, и, следовательно, на действительных процессах выполняются тождества (10.6) — (10.10), (10.15), (10.16), записанные с учетом соотношений (13.52) при /я = Zv и Ib==Iuv- Они выражают законы сохранения энергии-импульса (при Ib = Ia) и момента количества движения (при Ib = /^v) сплошной среды. Общие выражения (10.14) для компонент Tv?, тен-
зоров энергии-импульса и момента количества движения в рассматриваемой модели на основании соотношений (13.52) принимают вид
Tia = TvaIl Muv“ = xl(i|vvlTv“, Г* ^gvpTpa. (13.53)
Здесь Tpa- компоненты, определенные вторым равенством
(13.30). Из первого равенства (13.53) следует, что они являются контравариантными компонентами тензора энер-гии-импульса сплошной среды в ССК. Используя соотношения (13.52), (13.53) и тождества (1.34), (1.35), легко убедиться, что для рассматриваемой модели сплошной среды уравнение энергии-импульса (10.15), записанное относительно ССК, совпадает с уравнением движения среды
(13.30), а условие баланса на разрыве для потока энер-гии-импульса (10.15) совпадает с первым динамическим условием на разрыве (13.46). Тождества (10.16), представляющие собой уравнение момента количества движения и условия баланса на разрыве для потока момента количества движения, для рассматриваемой модели сплошной среды являются следствием уравнений (10.15) и симметричности компонент тензора энергии-импульса сплошной среды, определенных вторым равенством (13.30).
На основании соотношений (12.8), (13.53), (13.16) и
(13.26) найдем плотность внутренней энергии рассматриваемой среды
f = T“PUaUp = p((/-^S“). (13.54)
Следовательно, если лагранжиан (13.1) не зависит от компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии, то он совпадает с плотностью внутренней энергии среды, взятой с противоположным знаком.
186
СПЕЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЛОШНЫХ СРЕД [ГЛ. 5
Получим инвариантное уравнение энергии и тождество для коэффициентов при вариациях в функционале 8W*, вытекающие из вариационного уравнения для действительных процессов. В рассматриваемой модели сплошной среды определяющие параметры (13.6) принадлежат к типу р>А (см. § 10), связь (13.5) относится к связям вида (10.35), а коэффициенты при вариациях в функционале 8W* и лагранжиан А удовлетворяют условиям
(10.36)х). Поэтому применима общая теория, развитая в § И и 12, и, в частности, для действительных процессов должны выполняться тождества (12.7) и (12.10).
Используя соотношения (13.52) и второе равенство <13.16), найдем, что для рассматриваемой модели сплошной среды величины May определенные выражением (11.48), равны нулю:
Из соотношений (13.52) с учетом выражений (13.32) и
(6.28) для компонент Ty и Sa также следует, что для рассматриваемой модели сплошной среды величины Wa9 определенные равенством (12.6), имеют вид2)
Подставляя в тождество (12.7) выражения (13.1), (13.55), (13.56) для лагранжиана Л и величин Ma, Wa и используя определения плотности внутренней энергии среды Ш
(13.54) и 4-вектора плотности потока тепла (12.19), найдем
Учитывая затем равенства (13.2) и (13.30), представим соотношение (13.57) в следующем окончательном виде:
1J В последнем легко убедиться, если заметить, что на основании параметрических представлений (6.27), (6.28) и тождества у? = 0 значение параметра ф° не влияет на аргументы лагранжиана S=Sfpt Sa и следовательно, на сам лагранжиан.
2) Как и указывалось в § 12, Mct-O, но за го компоненты 4-вектора плотности потока тепла Cfx = TSa входят в Wa.
Ma = т:а -j- = ст'аик = 0.
л • di •
(13.55)
Va (-сШиа+сПаи(і-(Za) = O. (13.57)
рят=сТ***аЦ*-*а*а'
(13.58)
§ 13] УПРУГАЯ ВЯЗКО-ТЕПЛОПРОВОДНАЯ СРЕДА 187
Его можно рассматривать как инвариантное уравнение энергии, представляющее собой релятивистское обобщение уравнения притока тепла.
Подставляя в тождество (12.10) выражения (13.52),
(13.55) для величин рИ, MAi McA9 McAf Afa, соответствующих рассматриваемой модели сплошной среды, получим
T сіф Фл, d(pY dxx
У=у7х + Щ~^+Худ^=:0- (13,59)
Используя соотношения (13.16), второе и третье слагаемые в этом равенстве можно преобразовать следующим образом:
= (“%~6y)d(PY_ ф Vy dcPv
Vy dx а Vv dX aVy dx ’ (13.60) %=CtaPVpUa = і
