Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
После того как соотношение (12.10) приведено к виду
(12.11), можно выдвигать различные гипотезы относительно зависимости между обобщенными термодинамическими силами Xb и потоками Jb, аналогичные гипотезам нерелятивистской термодинамики необратимых процессов. Так, во многих моделях сплошных сред при изучении процессов, близких к обратимым, принимается, что обобщенные потоки являются линейными функциями от обобщенных сил
Jb = LbcXC. (12.21)
Матрица \\LBc\\ может зависеть от определяющих параметров и их производных, причем на основании второго
закона термодинамики должно выполняться неравенство
<J=2 0. (12.22)
Bt с
Соотношения (12.21) называются линейными законами Онсагера для необратимых процессов.
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
В термодинамике необратимых процессов доказывается, что в случае независимых обобщенных сил коэффициенты Lqo фигурирующие в линейных законах Онсагера, должны удовлетворять соотношениям Онсагера —Казимира [10, 11]. Их можно записать в виде
sign (JbJc) Lsc=zSign (J%Jc) Lcb- (12.23)
Здесь звездочкой обозначена операция обращения времени [10, 11]. Для линейно зависимых обобщенных сил коэффициенты Lac» очевидно, определены неоднозначно. В этом случае, как доказывается в термодинамике необратимых процессов [10], их можно выбрать таким образом, что соотношения Онсагера — Казимира по-прежнему будут выполнены. Линейные законы (12.21) или их нелинейные обобщения [9] позволяют в принципе определить коэффициенты Ma, M0At Ma^, входящие в выражение (7.19) для функционала 6W*. После этого для завершения построения модели сплошной среды остается задать лагранжиан Л и матрицу ||1бс 11-
Обоснование вариационного уравнения. Для построения конкретных моделей сплошных сред в исходном вариационном уравнении необходимо задать выражения для лагранжиана А и функционала 6W*. Полезные наводящие соображения о виде А и бW* можно получить, наложив условие, согласно которому вариационное уравнение после замены всех вариаций на действительные приращения соответствующих величин должно совпадать с уравнением энергии, записанным в собственной системе отсчета [9]. Тогда для простейших известных моделей сплошных сред оказывается довольно легко установить структуру лагранжиана А и функционала бW*. Усложняя затем полученные выражения для А и б№*, можно конструировать более сложные модели сплошных сред с внутренними степенями свободы. Рассмотрим описанную процедуру на примере модели идеально упругой сплошной среды, уравнения движения которой имеют вид [13]
= (12.24)
Здесь Qv — компоненты объемной плотности 4-силы Q9 р— компоненты симметричного тензора энергии-импульса, удовлетворяющие в собственной ГСК соотношениям
§ 12] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 157
Если рассматриваемая среда проводит электрический ток, то при наличии электромагнитного поля 4-сила Q содержит 4-силу Лоренца [13]
QV =-LfV-уд+ Tv. (12.26)
Через Tv здесь обозначены компоненты части 4-силы Q, имеющие неэлектромагнитное происхождение (с макроскопической точки зрения). Используя известные уравнения Максвелла [13]
SliFv* = — ~ JV, (12.27)
выражение (12.26) для Qv можно представить в виде
Qv =-OJlh + Tv, (12.28)
Tft F*F$ + 4 F1dlFVi) • (12.29)
Как известно [14], для идеально упругой среды в собственной ГСК релятивистские уравнения баланса энергии и энтропии совпадают с соответствующими уравнениями в ньютоновской механике и имеют вид
Pwf =Pl9 (S9Vk)*+cQS, PTf = CQt (12.30)
Здесь величина cQt = cQvuv представляет собой скорость притока тепловой энергии к единице объема в собственной ГСК; 5 = s/p — удельная плотность энтропии среды, т. е. энтропия единицы массы среды в собственной ГСК; Ш,— плотность внутренней энергии среды, являющаяся функцией аргументов S, Yap.
Исключая из первого равенства (12.30) величину Q* при помощи второго уравнения (12.30) и учитывая определение компонент 4-скорости и соотношения (12.25), получим
02-31)
Применяя уравнение движения (12.24) и выражение (12.26) для компонент 4-силы Qv, первое слагаемое в правой части уравнения (12.31) можно преобразовать следующим образом:
(d^uv)* = CpgduU? = Cdlt (Pguv) - FvvUvJ* - схчи\
158 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ¦
Используя это соотношение, а также определение собственного времени, уравнение неразрывности (3.54) при K=O1) и тождество
а* (І FmF**) - a. (JWV+Jr fV),
представим уравнение (12.31) в виде
д^А'и» + д» (n“uv - ^ F^FvxU*) -
-TvMv- J* + pT-g- = 0. (12.32)
Здесь
Л'----IHto.J-iF.f*, ()2зз)
Т'Р___п * J-T 'ц
У V =Pv -г У (F)V**
Преобразуем теперь присутствующие в уравнении (12.32) коэффициенты F
Fvkи* = = + ЛЛи? - дх (Av«v).
В результате содержащие эти коэффициенты слагаемые запишутся следующим образом:
{— F^FvxU*) - j-Fv^ =
“ ^ [i FMl (ж+А V^v)] - т *№+A^“v) +
+ д« (^vMv)] + 7 УЧ Mv«v).
Учитывая антисимметричность компонент Fma и уравнения Максвелла (12.27), легко убедиться, что сумма последних двух слагаемых здесь равна нулю. Поэтому уравнение
