Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
Если 6?° = 0 на границе области Vltct то, очевидно, эта область при бесконечно малом изменении параметра I0 остается неизменной (6°V7SC = 0). Существуют области (трубки мировых линий), для которых 8°V/tc = 0 и при на границе Vltc. В этом случае из равенства
(11.32) следует, что 6°/ = 0, так как на границе такой области UaIa = 0. Можно доказать, что аналогичное соотношение для удовлетворяющего условию (11.49) функцио-
5 12]
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
149
нала 8№*
8°И7*=0, SPld(O7Sc)*50, 6« (Wle) = O
выполняется тогда и только тогда, когда
м« = ^MaA-yL= аэV-g^=0. (11.52)
§12. Термодинамические соотношения
Инвариантное уравнение энергии. Для вариаций определяющих параметров b°\iA основное вариационное уравнение имеет вид (11.40). Подставим в него выражение (11.47) для функционала 8°W*:
J (Au*+jM*)laVgoobt°d% + t><>W=0. (12.1)
Найдем функционал S0W, предполагая, что определяющие параметры, как и раньше, имеют вид (11.24). Для вариаций S0Pi4 справедливы выражения (11.16) (если в них над поставить черту), а из тождеств (10.36) вытекают равенства
Здесь через WcA, Wf обозначены коэффициенты Wa,
дрд[іА в выражении (9.1) для функционала 8№. Подставляя в него вместо Sfiy4 вариации SVi4 и SMa (см. равен-
1J При выводе этих соотношений необходимо также учесть, что
связи вида (10.35) не дают вклада в выражение (9.2) для Wc^ (см.
равенства (10.41)).
Af^oSpi40 = O, M^dpSjiH0 = O.
Поэтому для величин WaA, Wf, определенных равенствами (9.2), выполняются соотношения1)
(12.2)
Wf, стоящие при вариациях 8ц/4 и их производных
150 СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
ства (11.16) и (11.21)) и используя соотношения (12.2), найдем функционал 60W
6°w=- і J {w°a w(?^ w) +
dV -+ t±
+ fPy«v 6|« - ap (Vg^> a YM^6i0)]} ia d%.
V —g <j(OolA$) j
(12.3)
Здесь учтены значения коэффициентов, стоящих при вариациях 6Aa в выражении (9.1) для функционала 6W. Эти коэффициенты находятся на основании равенств (9.2) и предположения о независимости лагранжиана от вторых производных дад$Ауу а функционала bW* — от вариаций 6ЛГ
Рассмотрим вариацию 6?° следующего вида:
с с OlPdxv /1 о л \
—y-g— » goo =gnv0?O ggo» (12.4)
где 6е — величина, не зависящая от координат ?Y, а функции a^(?y) соответствуют действительным процессам. Подставим в вариационное уравнение (12.1) выражение (12.3) для функционала S0UP и затем значение (12.4) для вариации б|°. В полученном таким образом равенстве величину 6е вынесем за знаки производных и интегралов и сократим. Кроме того, учтем определение собственного времени т (см. § 3). В результате получим соотношение
J (cAua + M* + Wa)lad% = 0, (12.5)
dV + fj;
где
= WaA^fc-+Wfdfi^+
(12-6>
Применяя формулу Остроградского — Гаусса (1.46) и замечая, что равенство (12.5) должно выполняться для любой области V/%, найдем следующее дифференциальное соотношение:
Vct (сАаа + Ma + Wa) = 0. (12.7)
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
151
Как и исходное вариационное уравнение (12.1), оно справедливо только для действительных процессов.
В простейших релятивистских моделях сплошных сред лагранжиан Л только знаком отличается от плотности энергии среды Ш относительно собственной ГСК Xv (CM. § 13). Величина называется собственной плотностью энергии среды или плотностью ее внутренней энергии. Очевидно, она должна выражаться через компоненты тензора энергии-импульса следующим образом:
Если, кроме того, в уравнении неразрывности (3.54) величина к обращается в нуль, то соотношение (12.7) можно записать в виде
где d/dT = cuada — производная по собственному времени.
В следующей главе на конкретных примерах будет показано, что с учетом уравнений Эйлера равенство (12.7) (или (12.9)) преобразуется к соотношению, которое можно рассматривать как инвариантное уравнение энергии, представляющее собой релятивистское обобщение уравнения притока тепла.
Термодинамика необратимых процессов. Из тождеств
(11.46) можно получить еще одно важнее соотношение термодинамики необратимых процессов. Для этого подставим в левую часть первого равенства (11.46) выражение (8.8) для величин 6до*/6р,л и преобразуем ее с учетом второго равенства (11.46):
% = т*оо = T^UiiUv = TaVUaUfi. (12.8)
(12.9)
бw* d\iA бід/ dx
Используя затем определение (11.48) компонент Ma и второе тождество (1.35), получим следующее соотношение:
152
СВОЙСТВА ВАРИАЦИОННОГО УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 4
Ниже будет показано, что для различных конкретных релятивистских моделей сплошных сред тождество типа
(12.10) можно преобразовать к виду
O = ZjbX*, (i2.li)
В
где о — диссипативная функция, a X39 Jq-соответственно обобщенные термодинамические силы и потоки, вводимые в теории необратимых процессов Онсагера [9—12]. Продемонстрируем здесь в общих чертах, как это делается.
В простейших релятивистских моделях сплошных сред среди определяющих параметров р,л присутствует удельная плотность энтропии 5 = s/p (s — собственная плотность энтропии, введенная в § 6) и нет компонент 4-вектора плотности внутреннего потока энтропии Sa. Кроме того, в выражения для лагранжиана Л и функционала 6W* не входят производные от 5. Выделяя из определяющих параметров JLa удельную ПЛОТНОСТЬ энтропии 5 (Pi4-V 5, Py4), соотношение (12.10) можно записать в виде
