Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
67
слагаемое в правой части равенства (4.17):
---7 J '?«’«• (4.43)
Здесь компоненты Ia определены равенством (1.38), а система координат ?* на гиперповерхности d2(c) выбрана
таким образом, что если смещение вдоль век-
тора Ii с гиперповерхности d2(c) приводит к возрастанию Iе. В качестве координат C2, ?3 можно выбрать, например, координаты ?°, ?°, точек пространства событий, лежащих на гиперповерхности d2(c). Тогда для компонент /?> на основании равенств (1.38), (1.28) и условия афЬфсфа получим следующие значения:
Ia = - V=g ea0ab = - V=g Ы
Так как UaI1a = 0, то в выражении (4.43) для dV{C} вместо компонент If можно использовать компоненты 4-вектора плотности полного потока числа частиц /-го сорта г)f = CniUa + If. Подставляя в равенство (4.43) значения компонент 1{а и учитывая соотношения (4.26) и
(3.19), преобразуем его следующим образом:
Щ
JSlrl dZ"'
Теперь видно, что между потоком числа частиц 1-го сорта через определенную выше гиперповерхность d2(c) и разностью значений параметра на концах мировых линий, образующих эту гиперповерхность, имеет место простое соотношение
СГ?{^
(<•«)
Оно устанавливает физический смысл приращений параметров ^ci при перемещении вдоль мировой линии любой точки сплошной среды. Сами параметры г|э? определены соотношением (4.26) только с точностью до произвольной аддитивной функции лагранжевых координат ?*, ?2, ?3. Если указанный произвол исключить, приняв, что ^ = O
58
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
при E0 = O, то из равенства (4.44) при Ц = 0 вытекает также физический смысл параметров tycr
Чтобы выяснить физический смысл параметров yph рассмотрим в пространстве событий бесконечно тонкую трубку мировых линий точек сплошной среды, лагранжевы координаты которых принадлежат некоторой бесконечно малой области 6?1*?2 dlz в трехмерном пространстве лагранже-вых координат g1, Е2» E3- Обозначим через dV четырехмерную область, представляющую собой участок указанной трубки мировых линий, который задается неравенствами Е?<Е°<Е**- Используя определение локальной скорости изменения числа частиц /-го сорта в результате столкновений V/ и соотношения (4.27), (3.19), легко вычислить суммарное изменение dVi числа частиц і-го сорта во всех столкновениях внутри области:
Следовательно, между суммарным изменением сР?і числа частиц /-го сорта во всех столкновениях внутри трубки мировых линий dV и разностью значений параметра на торцах этой трубки имеет место простое соотношение
которое устанавливает физический смысл приращений параметров -ф* при перемещении вдоль мировой линии любой точки сплошной среды.
Параметры и ^ будем называть соответственно параметрами диффузии и параметром производства частиц і-го сорта.
Параметрическое представление локальных скоростей реакций со.. Это представление будет использовано в следующих главах при выводе динамических законов. Чтобы получить его, введем функции (Ea) (г = I,..., R), удовлетворяющие уравнениям
dV dV
OVi
(4.45)
= (r=l.................R), (4.46)
Yy ax
которые легко записать и в ковариантном виде:
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
59
Вывод соотношений (4.47) точно такой же, как и выражения (4.38) для Vi. Из них следует, что если определить величины Xr» Ъ в других CGK так, чтобы отношения 7^/Кт. IrlVv представляли собой калярные функции от координат, то уравнения (4.46) сохраняют свой вид в любой ССК.
Заметим, что величины со?, со;, Vi (г = 1, ..., R\ і =
— I, ..., N) связаны между собой соотношением (4.21). Подставляя в него выражения (4.33), (4.46) для Vil to*, (о7, получим равенство
% _ Y /<*# _ dt7\ dx 2* V,r \ dx dx )'
r = I
Проинтегрировав его по х и положив постоянную интегрирования равной нулю, что всегда можно сделать в силу неоднозначности определения функций Хм Ъ из уравнений (4.46), найдем связь между параметрами г|^ и Хг:
R
% = 2 Vir(x;-x7) (t = l, N). (4.48)
і= I
Таким образом, всегда можно считать, что введенный ранее параметр производства частиц f-ro сорта ^i выражается при помощи равенства (4.48) через функции %t, Ir, удовлетворяющие уравнениям (4.46). Если определить еще величины Ir (г = 1, ..., R), для которых выполняются соотношения
Xr = Xr+-X;. ~^ = <аг, Va(cp=uaSJ = <i>r, (4.49)
то равенства (4.48) легко представить в виде
R
%=2v*>Xr- (4.50)
г= 1
Рассмотрим физический смысл параметров %±, %г. Для этого, используя определения (4.19) локальных скоростей со± г-й прямой и r-й обратной реакций, равенство
Cdx = Kioo d|° и соотношения (4.46), (3.19), вычислим число столкновений dXr внутри введенной выше бесконечно тонкой трубки мировых линий dV, в результате которых происходит г-я прямая (+) или г-я обратная (—)
60
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
реакция:
|^4Му/(?У-хг(ШИ-
Следовательно, между числом dXr элементарных актов г-й прямой или г-й обратной реакции внутри трубки мировых линий dV и разностями значений параметров Xr на ее торцах имеет место простое соотношение
dX±
