Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
равенств (5.42) следует, что в собственной ГСК
е0* = 0, е\ = Е\\ Ы = 0, Ь% = В%\
dt = 0, d*k = D*k] hi = 0, Ht = Ht 1 * }
ПЕРЕНОС И ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ
73
Кроме того, на основании соотношений (5.18), (5.19), (5.41), (5.42), очевидно, имеем
Dk = Ek + ^nPk, Hk = Bk-AnMki
(5.45)
da = є<х~\~ 4я/?а, Ha == b(x 4ята.
§ 6. Перенос и производство энтропии
Энтропия. Определение энтропии подробно обсуждается в термодинамике и статистической физике [1, 9, 12]. Напомним здесь лишь основные черты микроскопического определения энтропии [12].
Применяя операцию осреднения по физически бесконечно малым областям о(х)у как это делалось в § 3—5, можно определить различные макроскопические параметры в каждой точке х из области V пространства событий, в которой происходит движение системы частиц, рассматриваемой как сплошная среда. Некоторый набор таких параметров в точке х задает макроскопическое состояние системы частиц в области о(х). Очевидно, что макроскопическое состояние не определяет однозначным образом микроскопических характеристик системы частиц в области о (х).
Возьмем область о (х) = V3 (х) х tx (%), представляющую собой относительно выбранной ГСК физически бесконечно малый объем v3(x) обычного трехмерного пространства, рассматриваемый в течение физически бесконечно малого промежутка времени h(x). Пусть, с другой стороны, величина tx(x) много больше времени, необходимого для установления равновесного состояния в системе частиц, находящихся в объеме V3 (х). В течение времени h(x) эта система проходит ряд микроскопических состояний. Обозначим через Г (у3) количество микроскопических состояний, в которых система частиц, находящихся в рассматриваемом макроскопическом состоянии в объеме V3(X)t проводит почти весь отрезок времени Z1 (х).
Величина Г (V3) называется статистическим весом рассматриваемого макроскопического состояния указанной системы и характеризует его вероятность. Величина же, пропорциональная натуральному логарифму статистического веса, называется энтропией S (а3) рассматриваемого макроскопического состояния системы частиц, находящихся в объеме V3:
S(v3) = k\nT(v3). (6.1)
74
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
Постоянный коэффициент k, фиксирующий единицу измерения энтропии, обычно принимают равным постоянной Больцмана [1, 9]. Используется также система единиц, в которой k = 1, а энтропия является безразмерной величиной [12].
Уравнение баланса энтропии. Плотностью энтропии S0 сплошной среды в точке х пространства событий относительно выбранной ГСК называется отношение
S0(X)=^2). (6.2)
vS
Входящие сюда величины v3(x)y S(V3) были определены выше относительно выбранной ГСК для любой точки х пространства событий, в которой присутствует сплошная среда. В этой ГСК уравнение баланса энтропии можно записать в виде
д_
dt
где
d3x = dx1 dx2 dx3, (6.4)
a V3- трехмерная область пространства переменных X19 X29 X3y ограниченная двумерной поверхностью S2, неподвижной относительно используемой ГСК. Интеграл в левой части равенства (6.3) по определению есть энтропия сплошной среды в области V3 трехмерного пространства в рассматриваемый момент времени. Произведение —SdS2 представляет собой скорость изменения энтропии в области V3 за счет взаимодействия с окружающей средой через элемент dS2 поверхности S2. Произведение od3x равно скорости изменения энтропии за счет внутренних процессов в элементе объема d3x. Величина а называется локальной скоростью изменения энтропии сплошной среды.
Из равенства (6.3) следует, что при V3-^O поверхностный интеграл должен быть бесконечно малой величиной того же порядка, что и объемные интегралы. Это возможно только при условии, что поверхностный интеграл преобразуется в объемный. Для этого в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство [1]
S = sknk, (6.5)
в котором nk — компоненты трехмерного вектора внешней нормали к поверхности S2, Sfe — компоненты некоторого
s°d3x = — ^ SdS2 +j od3x9 (6.3)
S2 V,
ПЕРЕНОС И ПРОИЗВОДСТВО ЭНТРОПИИ
75
трехмерного вектора, определенного во всех точках пространства событий, где присутствует сплошная среда. Этот вектор называется трехмерным вектором плотности потока энтропии сплошной среды относительно выбранной ГСК. Используя равенство (6.5), уравнение (6.3) можно записать в дифференциальной форме (применяя обычную формулу Остроградского — Гаусса для трехмерного пространства и учитывая произвольность области V3):
ds0 . dsk /а сч
+T-T=O- (6.6)
dt дхк
Определив величины Sv при помощи равенств
S0 = CS0t sft = s*, (6.7)
уравнение (6.6) легко привести к четырехмерному РИДУ
^vSv = Q. (6.8)
Все рассуждения, проведенные в настоящем параграфе, очевидно, можно повторить и в любой другой ГСК. Введем таким образом относительно нее плотность энтропии s'0, компоненты s'k трехмерного вектора плотности потока
энтропии, локальную скорость изменения энтропии о' и величины s'v, удовлетворяющие соотношениям
s'0 = CS'0, s/ft = s/ft, a;s'v = a'. (6.9)
