Релятивистские модели сплошных сред - Черный Л.Т.
Скачать (прямая ссылка):
2] Vir (L+r = v<> (<°' “ <°')v-
г = 1 Г = 1
Если разделить эту величину на v/c = tiv3 (Z1- физически бесконечно малый отрезок времени, V3-физически бесконечно малый трехмерный объем), то, очевидно, получим" локальную скорость изменения числа частиц Z-го сорта в результате реакций, т. е. V1:
R
V,- = 2 v«> (®? — ©Г). (4.21)
Г =* 1
50
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА
[ГЛ. 2
Разность локальных скоростей r-й прямой и г-й обратной реакций называется локальной скоростью r-й реакции. Обозначим ее через сог. Тогда равенство (4.21) можно записать в виде
R
Vi = 2 VtrCO0 (Or = CO? — Co;. (4.22)
г = ]
Подставим выражение (4.21) для V1- в уравнение (4.4) и проинтегрируем его по четырехмерной области Vy границей которой является гиперповерхность 2. Применив затем формулу Остроградского — Гаусса (1.43), получим уравнение баланса числа частиц в четырехмерной интегральной форме
R
\ 4 tIIі, W= f 7 2 v‘> d*x- <4-23>
2 V Г= 1
Из сформулированных выше определений величин CO^f Vir вытекает, что правая часть этого равенства представляет собой суммарное изменение числа частиц і-го сорта во всех столкновениях внутри области V. Это изменение, очевидно, должно быть равно разности между числом частиц i-го сорта, чьи мировые линии выходят из области
V через ее границу 2, и числом частиц і-го сорта, чьи мировые линии входят в область V через ее границу 2. Указанная разность выражается интегралом в левой части равенства (4.23), представляющим собой суммарный поток числа частиц і-го сорта из области V через ее границу 2.
Если относительно выбранной ГСК Xv область V представляет собой рассматриваемую в течение промежутка времени от tx до U трехмерную область V3 пространства переменных JC1, X2y X3y ограниченную неподвижной двумерной поверхностью S2, то соотношение (4.23) можно записать в обычном трехмерном виде:
і
J с
V,
тiid8x =—I С t\fnkdadi + f Г У VirWrd3xdt.
t, и S2 и V, г = 1
Здесь d3x = dx1 dx2 dx3\ da — площадь элемента поверхности E2; nk — компоненты трехмерного вектора внешней нормали к поверхности S2 в декартовой системе координат Xі, X21 X3', Г|і/С =TJjMi1 = TJj (I —Vi/Cty1/2 — средняя плот-
ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ
51
ность числа частиц і-го сорта относительно ГСК наблюдателя xv; TjJ = CriiU1I = x\f)k( (I — V21 Ic2Y112 = (т]?/с) Vki — компоненты трехмерного вектора средней плотности потока числа частиц і-го сорта относительно ГСК наблюдателя Xv (средние берутся по физически бесконечно малым четырехмерным областям); о>г = о)г—о)л есть локальная скорость r-й реакции.
Параметрическое представление переменных /і*, /?, v*.
Собственная плотность числа частиц і-го сорта niy компоненты 4-вектора плотности диффузионного потока частиц ?-го сорта If и локальная скорость изменения числа частиц і-го сорта в результате столкновений Vi удовлетворяют уравнению баланса числа частиц і-го сорта (4.16) В CCK Iа оно будет иметь вид
Va (CtIiUa + If) = Vi (4.24)
Найдем параметрическое представление величин nit Ify Vi, в силу которого уравнение (4.24), являющееся дифференциальной связью между переменными riu If, Vi, удовлетворяется тождественно. Это представление будет использовано в следующих главах при выводе динамических законов из вариационного уравнения. Близкие по смыслу выражения для вариаций концентрации и скорости 1-й компоненты смеси в нерелятивистской механике рассматривались в работе [8].
Применяя второе тождество (1.35), приведем уравнение (4.24) к виду
р== да V—g (CtliUa + If) = V1.
Подставив сюда выражения (3.8) и (3.19) для иа и V—g, получим уравнение
Що (с Vy Пі + Vv Vgoo И) + Ща (VrTVFoо /“) =
= VvVgoо Vj. (4.25)
Введем функции ij>?(?0, Ib) (а, Ь = 1, 2, 3; t=l, ... ..., N), удовлетворяющие дифференциальным уравнениям
chb? і ----
¦дф = VgooIi (Iй, Iа) (» = 1, .... N). (4.26)
52 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА [ГЛ. 2
Тогда соотношение (4.25) можно переписать так:
где
= (4.27)
К Y Kgoo д|°
t|>i = Vyni+ j V VVTmі /? + Ц• (4.28)
Разрешая уравнения (4.26) относительно 1° и учитывая равенства
ыа/“ = U0/? + UaIai = 0, UaUa = U0U0 = 1, получим следующие выражения для /?, I0i:
If = с —, /? = — U0Ua/?= — . (4.29)
VYVgoodi0 Kv/goo
Их можно записать и в четырехмерной форме:
/«- -с (иаи б 30)
так как
Yj = uaub — 6a, Ua = O, 6° = 0.
Используя эти же равенства, соотношение (4.28) после подстановки в него выражения (4.29) для Ii легко представить в виде
UiVY=«Xa|o--а|5-+^ = ^-щй+^і- (4.31)
Введем еще величину г|5?:
if? = —u0uai(4.32)
после чего, учитывая определение собственного времени и тождества = 0, соотношения (4.27), (4.30), (4.31) можно записать соответственно так:
I і п — 1 /— д'Ф?
" = T,*' <433>
Следовательно, доказано, что для любых функций If(Ia)* v» (Ea)* удовлетворяющих уравнению (4.24), существует параметрическое представление (4.33) через
$ 41 ДИФФУЗИЯ И РЕАКЦИИ 53
функции TfP (Iа), Ifi (|“), которые связаны между собой на основании равенства (4.32) одним соотношением:
