Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Подставим теперь функции Тир (388) в уравнение (385) и приравняем члены с множителем /ст и члены, не содержащие этого множителя. Получаем при этом пару уравнений
R = Q + (Д2/й8) р2, (390)
Sr к) = ^rQT1+ h. (391)
Подобным же образом из уравнения (386) получаем другую пару уравнений
Pi + p2^i = х2> (392)
Я2 - Я -ЗГ +-^Г PiTl = (393)
U' * о8 О)8
где
х = X1 + 4ст2р2.
(394)
220
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
В силу последнего соотношения можем записать (ср. с уравнением (389))
К = (и — 4 Cr2P2) + 2/стх2. (395)
Подставляя вместо функций R и P1 выражения (390) и (392), имеем
(-?^) =-fF-QFi+ (396)
Положим
F = (S8 /А2) Q = (1/А) [XS4 + 3S2 (г2 — а2) — Зг2Л ]. (397)
Тогда
Я = (A2/S8) (F + р2), (398)
и уравнение (396) принимает вид
dF/dr* = T1 (F — р2) + X2, (399)
или иначе
Ti = (F' - x2)/(F - р2), где F' = Fir,. (400)
Вернемся к уравнению (393) и перепишем его для функции F:
-^rV+ Р2)2 - (F + P2) + 7\(х2 - P2T1) = х. (401)
CO u *
Исключим теперь T11 из этого уравнения, воспользовавшись формулой (400) и соотношением
Ti = (F — р2)-2 [(F - р2) F" - (F' - X2) F ]. (402)
Находим
(F2 - рз)2 - (F2 - р2) F" + (F'2 — X2) F = х (F — р2)2. (403)
CO8
Расписывая последнее уравнение, получаем
Ш ~F = M- 2M + (х + iS- Й) ¦^ -
причем следует помнить, что F — известная функция. Уравнение (404), следовательно, налагает условие на функцию Fy если решения в предполагаемом нами виде существуют. Уравнение (404) обобщает уравнение (311) гл. 4 и сводится к нему в случае P2 = 0.
Замечательным фактом является то, что функция Fi определяемая уравнением (397), действительно удовлетворяет уравнению (404), если выбрать
* = %(% +2), P2 = ±3а2, ' (405)
х2 = ± {36M2 - 2Х [а2 (5% + 6) - 12а2]+ 2$2Х (X + 2)}1/2, (406)
97. Падающие гравитационные волны
221
причем знаки P2 и X2 можно выбирать независимо, но для проверки этих утверждений требуются громоздкие вычисления.
Решение для функции V может быть найдено из уравнения (387). Переписывая его в виде
R (V - Q) = - Q + 4т- (407)
U Г ж С1Г
и воспользовавшись уравнениями (390) и (392), получаем
* (У-Q) = -(<? + ¦?- = (408)
Таким образом,
V = Q- AT1Idr*, (409)
где можно вместо Tі подставить выражение (402). Удобно, однако, исключить F" из уравнения (402), воспользовавшись дифференциальным уравнением (403), которому удовлетворяет функция F. В результате получаем
rP'. — А2 (р і ft \ к і (F' ха) — Рг^7') /41
Jl ^ T- Р2> F_|_ р2 -T- (/г — р2) (/Г2 _ р§) •
Для функции V теперь находим
т/__ A2 о і и (F Щ) Рг^7 ) //11 t \
V- + (F - P,) (^ - PD * (41^
б. Функции Z(+a) и Z(_a). Как и в п. 74, а, будем различать функцию Y и функцию, удовлетворяющую комплексно-сопряженному уравнению, с помощью верхних индексов уч+д) и Y(~0), а функции, удовлетворяющие соответствующим одномерным волновым уравнениям, будем обозначать Z(+a) и Z(-a).' И снова, как и в п. 74, а, найдем, что функции Z(+0) и Z<~a) удовлетворяют волновым уравнениям с одним и тем же потенциалом (411).
Выпишем различные выражения функций через функ-
ции Z(±a) и обратные соотношения
Y(±o) = ffVZ^ + (Tl ± 2ІОГ) A±Z<±a>;
ЛTy<±a) = _ (р, ± 2iap2)Z«±°> + /?A+Z<±°>;
CO8
К(±а)ц±о) = J?Lry(±°) ±2гог)ЛтУ<*°>; (412)
K(±a)A±Z<±°) = фі ± 2шр2) Г<±°> +
где (ср. с уравнениями (395) и (405))
K<±a> = [X (А, + 2) — 4о2р2] ± 2ІОЩ. (413)
222
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Важные соотношения связывают постоянные К{+0) и К(~0) с постоянной Старобинского
К(+0)К(-0) = [х(X + 2) - 4а2р2]2 + 4а2х! =
= X2 (X + 2f - 8O2X [а2 (5Х + 6) - 12а2] + 144а2 (M2 + а4а2) = | V |2,
(414)
это соотношение свободно от произвола в выборе знаков P2 и х2-Существования подобного соотношения между постоянными Старобинского W и и /((+а) и возможно, и следовало бы
ожидать: обе пары постоянных связывают, хотя и различным образом, функции с s = +2 и частотой +а с функциями с s = —2 и частотой —а. Необходимость соотношения (414) для совместности полной теории станет более ясной в § 98.
в. Структура потенциалов. Поскольку знаки P2 и X2 могут быть выбраны произвольными и независимыми друг от друга, уравнение (411) в общем случае дает четыре возможных потенциала для уравнения (383). Ясно также, что в зависимости от знака величины, стоящей в фигурных скобках в определении X2 (406), у нас будет пара комплексно-сопряженных потенциалов (точно так же, как при исследовании падающих электромагнитных волн в гл. 8).
Выпишем явный вид потенциала, заданного уравнением (411):
M-Ь-5-+ Ж +
[х2ю2Л — (g'A — A'qr)] [n^q — P3 (<7'А — A'q)]) /415ч
+ J’
где
q = Хё4 + Зё2 (г2 — а2) — 3r2A = AF, (416)
' j S2 (Ха>2 -f- 6Mr — 6а2) при P2 = + За2,
^ 2 j Хй'1 + 6г2 (а2 — а2) + 6Mr (г2 — а2) при р2 = — За2,
(417)
q' А — A 'q ¦= — 2 (г — М) Ш +
+ 2ё2 {2ХгИ — 3Mr2 — ЗМа2 + 6га2) +
+ 12гЛ [Mr — а2). (418)
Ha рис. 43 и 44 вычерчены графики потенциалов (415) для типичных случаев.
