Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Z(+a) -> ехр [+ior*] при г -> оо; г -* г+ + 0:
— 4a2 ехр [+ tor*] при гоо,
- [4а2/(а - а,)] [(а - as) + 2ге„] ехр [+ гаг*]
при г-^г+ + 0;
/(+а) _> ехр [—iar*] при г —*¦ оо; г -* r+ -f 0:
(/С<+°)/4а2)ехр [—tarj/r1 при г-> оо,
/С(+а) ((T — Js)2 A2 ехр [— Iorз ]
v<+a>
У-г
+2
УІГ20) ¦
4 (о,+)4 <т2 [(<т - (Ts) + 2te0][(a - (Js) + 4іє0]
Z(-°) -> ехр [+/аг*] при г —> оо; г -> г+ + 0:
— (/С(-<т)/4а2) ехр [ -f- гаг*]//4 при г-> оо,
__________/С(~а)(д — qs)2 A2 ехр [-f Iara.]_________
4 (52,)4 а2 [(а - о5) - 2te0] [(а - а,) - 4te0]
(442) при г —> г+ -(- 0;
при г->г+4-0;
УІГ2а)-
-> ехр [—tar*] при г оо; г -»• г+ + 0:
— 4а2 ехр [—tar*] при г-^оо,.
— [4а2/(а — as)] [(а - as) — 2te0] ехр [— /аг*]
при r->r+ + 0;
(443)
(444)
где
є0 = (r+ — M)/2 (г+ + a2) = (M2 — сі )x 1214MrJr.
98. Задача об отражении и прохождении волн
(445)
Преобразовав радиальные уравнения Тьюкольского к одномерным волновым уравнениям, мы можем теперь завершить решение задачи об отражении и прохождении падающих гравитационных волн точно так же, как в § 75 и 76 для электромагнитных волн. Основное различие состоит в том, что в рассматриваемом здесь случае мы имеем четыре потенциала вместо двух. Однако это различие не приводит к новым следствиям, поскольку, как мы увидим ниже, все четыре потенциала дают одинаковые коэффициенты отражения и прохождения.
Потенциалы могут быть и комплексными, поэтому удобно так сформулировать задачу об отражении и прохождении волн, чтобы рассуждения были применимы как к действительным, так и к комплексным потенциалам.
230
Глава 9. Гравитационные возмущения черной дыры
Пусть Z<±0) — решения одномерного волнового уравнения с ограниченным короткодействующим потенциалом V (действительным или комплексным), имеющие следующие асимптотики:
) ( ехр [± farj + Л<±°> ехр [=F tor,] при г,- +00,
""*"1 В(±ог)ехр [± ктг] при Г*-*--ОО. '
Если потенциал V действительный, то коэффициенты Л<+а) и B(+J) будут комплексно-сопряженными Л(_а) и что не
выполняется если потенциал V комплексный. Однако во всех случаях, если ввести определения
R = Л<+аМ<-а>, T = В^В(-°\ (447)
мы придем к закону сохранения
R+ T=I. (448)
При этом вещественность величин R и T не гарантируется.
Ниже мы докажем две теоремы для конкретного вида потенциалов рассматриваемой задачи.
Удобства ради ограничимся случаем а > crs, когда зависимость г* от г монотонна и однозначна, а потенциалы являются ограниченными и короткодействующими. Обобщение на случай сг < (Ts требует лишь некоторых дополнительных уточнений о происхождении сингулярности потенциала V (которые возникают в этом случае, см. п. 75, в гл. 8).
ТЕОРЕМА 1. Все потенциалы приводят к одинаковым коэффициентам отражения и прохождения.
Доказательство. Рассмотрим решения Z(/> ±а), отвечающие потенциалу V^} и имеющие асимптотики
2<ь ±о).
CU' ±а) ехр [zb ior+] + Ail ’ *а) ехр [=F ior+]
при г*^+оо,
5</. ±ог) ехр [_?.
при Г*-»----оо.
В соответствии с соотношениями (439) и (440), установленными в п. 97, г, решения ±а), отвечающие потенциалу Vі и получающиеся из соответствующих решений, отвечающих потенциалу Vі с вышеприведенными асимптотиками, будут иметь такие же асимптотики с коэффициентами, равными
Cd, +о) = са- +»), +°) = В</. +о), Au- +°> = (KiZKi) AU' +0);
(450)
CU, -со - (KiIKi) CU--0K -<т> = (KiIKi) Bd- -а>,
да, -а) _ да, -a t
98. Задача об отраяСёнии и Прохождении волн
251
Следовательно,
^(і. +о)дО'. -а) ?(г» -Н*)?(*\ —cO +<*) g(t, —о)
д(і> +о)дИ> —о) С<ь +<*)?(/. jg(/* +Or) jд(/. —а) ?(/. +<*)?(/, -а)
(451)
(452)
Z</- і0)-
Q{i* +<*)?•( І» —0O
что и доказывает теорему.
ТЕОРЕМА 2. Если Z^* ±а) есть решения, соответствующие комплексному потенциалу Vj и имеющие асимптотики
ехр [± tar*] + Л</. ±<т) ехр [+ tar*] при г* -> + оо,
в</' ±°) ехр [± tar*] при Г*-»----OO,
(453)
то коэффициенты отражения и прохождения равны
R = I Л</. -К») р [/((/• +о>]2/| <gI2 = I Л</. -о) р [*</¦ -°)]2/| V I2,
T = I Б</. +а> I2 = I В<ь I2, ^454^
г<?? \^\2 = Ku' +G)K{i' ~~G) — квадрат модуля постоянной Старобинского.
Доказательство. Заметим прежде всего, что потенциал Vi может быть комплексным тогда и только тогда, когда величина х2, определяемая уравнением (406), чисто мнимая, и в этом случае
можно написать
X2 = ±ik2
(455)
где &2 — действительная величина. Пусть для потенциалов Vj и Vі величина X2 равна соответственно —ik2 и +ik2, а P2 одинаковы. Тогда потенциалы V1' и Vі являются комплексно-сопряженными функциями, а постоянные K1 и Ki равны
Kli'0) = [X (А, + 2) - 4о%] + 2Ok2,
Ku' 0) = [А, (*¦ + 2) - 4a2p2] - 2а62 = Ku’ ~а) (456)
и действительны.
Поскольку функции V1 и Vі являются комплексно-сопря-женными, уравнения, которым удовлетворяют функция Z1 и комплексно-сопряженная к ней функция Zi', совпадают. Соответственно этому решение для потенциала Vti имеющее асимптотики
ехр [—tar*] -f Au' ~0) (K1IK1) ехр [+tar*]
