Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Используя предыдущее уравнение, можем записать
2аМгЬ / о 9ч 2aMr6 0. /11-74
® = дТГ^б(х2-®2) = —(117)
Из уравнений (116) и (117) теперь следует
ё2^ (А — а2б)/р2 = <?2Р — coV* = б (Ap4 — 4а2М2г2б)/р4. (118)
Здесь мы использовали выражение ехр (2|3) = Дб. Решения для со и exp (2\Jj), которые получаются из уравнений (117) и (118), можно записать в простом виде с помощью следующих легко проверяемых тождеств:
[(г2 + a2) =F а (Дб)1/-] (А'/2 ± аб1/2) = р2Д'/2 ± 2а/Игб>/2, (119)
22 (А — а2б) = р4А — 4а2М2г2б, (120)
где
S2 = (г2 + а2)2 — а2 Дб. (121)
Из уравнения (118) получаем, воспользовавшись тождеством (120):
ехр (2ф) = б22/р2, (122)
а из уравнения (117) теперь следует
со = 2 аМг/22. (123)
%..¦ 54. Вывод метрики Керра 19
і--------------------------------------------------------------------------------
$!меем также
: exp (2v) = exp (2р — 2ф) = р2А/22, (124)
X = ехр (—ф +v) = р2 А1/2/(Е2б1/2). (125)
Из уравнений (123) и (125) находим, используя тождество (119) v_ I __ Д1/2+а61/2 /ю«\
X-X I-W- [(г2 + а2) + а{Лб)./2]б./2 ’ (126)
v_ _ Л1/2 — аб1/2 /Ю7\
Y -X- CO - Цг2 + а2)_а(Дб)./2]б./2 • (12?)
Наконец, завершая решение, вернемся к уравнениям (59) и (60). Редукция этих уравнений облегчается следующими формулами, дающими выражения для производных функций X и Y:
У р2 (г —М)— tIr (Д1/2 + аб'^2) А1/2
Л>2~ [(г2 _|_ а2) 4' а (Дб)1/2]2 (Дб)1/2 ’
jxA1/2 [(г2 + а2) + а26 + 2а (Дб)1/2]
[(г2+ а2)+ а (Afi)1Z2Pe3/2 ’
*,з
Y _____ [р2 (г—М) — 2г(д'/2— аб1/2)Д1,/2]
,2~ [(г2 + a2) -a (AS)1Z2J2(AS)1/2 ’
У IiAw2 Kr2 + а2) + а2б — 2а (Аб)1/2]
Г’3 [(г2 + а2) — а (Дб)1/2]2 63/2 ’ 1 '
Используя предыдущие формулы, уравнения (59) и (60) сведем к следующему виду:
(1*8 4" (?), “Н (И-з 1?), з (r Al)/А =
= ц [(г — М) (р2 + 2а28) — 2гД ]/(р2 AS), (129)
2 (г М) ((X3 -f- 1?), 2 + 2jx (р3 -|- щ), з =
= 4 — 2 (г — MflА — 4гМ/р2. (130)
Легко убедиться, что функция
exp ([A3 + р2) = р2/А1/2 (131)
является решением этих уравнений, и поскольку exp ((X3 — (X2) = = А1/2 (в выбранной нами калибровке), то решения для ехр (ц3) И ехр ((X2) по отдельности имеют следующий вид:
ехр (2|х2) = р2/А; ехр (2р,3) = р2. (132)
Теперь мы завершили решение уравнений для всех метрических коэффициентов и можем выписать метрику:
ds2 = р2 (А/22) (d/)2 — (22/р2) [dcp — (2 aMr/22) d/)]2 Sin2 0 —
— (р2/А) (dr)2 — р2 (d0)2. (133)
20
Глава 6. Метрика Keppa
Это и есть метрика Керра. Выпишем ковариантный и контра-вариантный метрические тензоры
(ёи) =
1 — 2Мг/р2 0 0
cIaMr sin2 0/р2
0
—р2/А 0 О
(Sii) =
S2Zp2A
о
о
2а/Иг/р2А
О
-А/р2
О
О
о
о
-P2
О —[(г2
О
О
-1/р2
2aMr sin2 0/р2 О О
a2) + 2а2Mr sin2 0/р2] Sin2 0
(134)
2аМг/р2А О О
О —(А — а2 sin2 0)/р2 A sin2 0
(135)
Заметим, что при а = О метрика Керра (133) сводится к метрике Шварцшильда в стандартной записи. Кроме того, из асимптотического поведения
e2v —*•1 — 2Mlr -j- О (г~2), е2^ —>-г2 sin2 0+0 (г),
со ->2aMlr3 -f- О (г4), e2|i:> ->r2 -f- О (г), е-2Цг J _ 2M/r + О (г-2) (г оо)
(136)
различных метрических коэффициентов видно, что метрика Керра приближается к метрике Шварцшильда при гоо. Отсюда мы заключаем, что метрика Керра асимптотически плоская, а параметр M следует отождествить с массой черной дыры. Из асимптотического поведения функции (о (о) ~+2аМг~3), которая определяет увлечение инерциальной системы отсчета, следует, что а нужно отождествить с удельным моментом количества движения черной дыры (т. е. моментом единицы массы).
Отметим, наконец, следующие алгебраические соотношения между метрическими функциями, которые в дальнейшем окажутся полезными:
а — (г2 а2) со = а Ар2/22,
1 — асо sin2 0 = (г2 -(- а2) р2/22.
(137)
а. Тетрадные компоненты тензора Римана. В принципе нетрудно подставить различные метрические коэффициенты метрики Керра в выражения, выписанные в уравнении (3), и получить компоненты тензора Римана. Вычисления можно упростить, заметив прежде всего, что помимо равных нулю компонент, приведенных в формулах (4), и циклического тождества
R 1230 “Ь ^ 1302 + R1023 — 0 (138)
54. Вывод метрики Керра
21
имеются еще следующие соотношения, которые являются следствием равенства нулю тензора Риччи:
^?1213 — ^3002> ^?1330 — “~^122(Ь
^0202 “ #1313*, ^0303 — ^1212*» (139)
^2323 = ----RiOlO = ^0202 ^0303-
Выпишем далее производные различных метрических функций
Иг, е = —я2 sin 0 COS 0/р2 = Рз, е; р3) 2 = г/р2;
(Иг + Из), г = 2/7р2 (г M)/Д; ((X2 + ^з), е =
= —2a2 sin 0 cos 0/р2; of), 2 = [2г (г2 + а2) — а2 (г — M) sin2 0 ]/22 — г/р2 =
= -V, 2 +(г- M)/ Д; ¦ф, е = ctg 0 + й2 (1/р2 — Д/S2) sin 0 cos 0 =
= —v, з + ctg 0; а|), 29 = 2а2 {—(г — М)/22 + (Д/24) [2г (г2 + а2) —
— а2 (г — M) sin2 0 ] — r/p4} sin 0 cos 0 = —V12е;
afi, ее = —cosec2 0 — a2 A cos 20/22 —
—2а4 Д2 sin2 0 cos2 0/24 -f- a2 cos 20/р2 +
2а1 sin2 0 cos2 0/р4 = —V, ее — cosec2 0; ®, е = +4а3Мг Д sin 0 cos 0/24;
