Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Перепишем асимптотики через переменную т):
I- 2М*/(/И2 - а2У/2 г1 + 0 (гг2),
(0 -> J,/(M2 - a2)3/2 if 4- 0 (Tf4). (83)
Поскольку
e2*+2v = Xe2'' - A (I - Ii2) = (M2 - а2) (Tl2 - I) (I - Ii2), (84)
приходим к выводу, что
X(M2 - а2) (1 — (і2) ті2 [ 1 + 2М*/(М2 — а2)1/214] -f- О (1). (85)
Из уравнения (81) теперь следует асимптотика для Y:
Y-+ 2/ИЗ-Ц2) +0(11"1), (86)
а из уравнений (75) и (85) следует, что со имеет требуемую асимптотику со -> 2Jr~3 (г -> оо).
в. Уравнение Эрнста. Эрнст ввел другую форму записи основных уравнений, сыгравшую основную роль в исследованиях, целью которых было нахождение всех стационарных аксиальносимметричных решений уравнений Эйнштейна в пустоте. Кроме того, уравнение Эрнста позволяет наиболее просто и кратчайшим путем вывести метрику Керра.
Прежде всего отметим, что уравнение (53) позволяет получить функцию со из потенциала Ф:
Ф, 2 = (б/х2) Ю, 3, ф, 3 = —(Д/Х2) Ю, 2- (87)
Потенциал Ф удовлетворяет уравнению
(т ф.>).г+йгф.»)., = 0’ «*>
а уравнение (52), записанное через потенциал Ф, принимает
следующий вид:
[А (In хЫ, 2 + [б (In X), зі, з = (Х2/Д) (Ф, з)2 +
+ (Х2/6) (Ф, 2)2- (89)
16
Глава 6. Метрика Keppa
Полагая
У = (Двр/х, (90)
находим, что уравнения (88) и (89) могут быть приведены к виду (ср. с уравнениями (54) и (55))
Ч а), 2 + (б^. з), ,1 = A [(?, 2)2 - (Ф, 2)2 ] +
+ 6 [(«Р3)2-(ф, 3)21, (91)
W [(ДФ, 2). , + (6Ф, з), 3] = 2Д?, 2Ф, 2 + 26?, 3Ф, з. (92)
Можно представить функции 1F и Ф как действительную и мнимую части комплексной функции
Z = W + ІФ (93)
и объединить уравнения (91) и (92) в одно уравнение
Re (Z) [(AZ 2),2 + (6Z, 3),3] - A(Z, 2)2 + 6(Z 3)2. (94)
По своей структуре уравнение (94) похоже на систему уравне-
ний (57) и (58) для функций XwY. Следовательно, уравнение (94) должно обладать свойствами, аналогичными перечисленным выше в разд. а. Именно, если Z есть решение, то решением является и функция Z-1, решением также является функция Z/(l -f- icZ), где с — произвольная действительная постоянная. Преобразование Z ->Z/(I -f- icZ) эквивалентно так называемому «преобразованию Эйлера». В отличие от рассмотренных выше преобразований для решений XwY преобразование Эйлера приводит к существенно новым решениям, поскольку переход от Z к метрическим функциям связан с операцией интегрирования. Преобразование
Z = —(1 + Е)/( 1 — Е) (95)
(аналогичное преобразованию (66)) приводит уравнение (94) к следующему виду:
(I -ЕЕ*) [(Д?,2),2 +(8?,3),3] =
= -2?* [А (?,2)2 +6 (?,3)2]. (96)
Это и есть уравнение Эрнста.
Мы видели, что с решением (%, со) связано сопряженное решение
X = х/(х2 — со2), © = со/(х2 — CO2). (97)
Аналогично можно вывести и сопряженное уравнение Эрнста. Вводя определения
W = (Д8)1/2/% - ^ (х2 — со2)/% = e2v — (0?2*, (98)
Ф 2 = (8/х2) 5, з = (Ф2/Л) 5,3, ф, 3 = -(А/х2) Ю, а = -(T2/S) S, а,
(99)
Z =¦У + ІФ = —(1 + ?)/(! - Ё), (100)
54. Вывод метрики Керра
17
получаем
(1 - ЁЁ*)[(ЬЁ, 2), 2 + (бЯ.зХз) = -2Ё* [А (Ё, 2)2 + S (?>3)2]. (101)
Снова вводя переменные T1 и |х, имеем
{I-ЕЁ*) (Kt12 - 1)? дл + [(1 - м2)?„и =
= _2Ё* [О,2 - 1) (Ё, ,)2 + (1 - р2) (Ё, ,)2]. (102)
Метрические функции T и Ф следующим образом выражаются через функцию Ё:
Y = ReZ = —(1 -??*)/| 1 - Ё\\ Ф = ImZ = i(E-E*)/\l ~Ё\2.
(103)
54. Вывод метрики Керра
Нетрудно проверить, что уравнение Эрнста (102) допускает элементарное решение (аналогичное решению (70) уравнений (67) и (68))
E = —рг] — iq\i, (104)
где
P2 + q2 = 1 (105)
и р и q — действительные постоянные (выбор знаков р и q в решении (104) продиктован соображениями удобства для дальней-
шего изложения). Соответствующее решение для Z имеет вид
z = Y + t<D = — . (106)
I + РЧ + г<7Ц к '
Разделяя мнимую и действительную части Z1 получаем ? =
P2tI2 + <?2^2 — * ___ P2 (rI2 — 1) — Я2 О — I1*2)
I + 2pr\ + P2T)2 -+- ^2JLi2 (pr| + I )2 + q2l*.2 ’
ф =--------------------. (107)
ІРЧ + I)2 + </V к ’
Выраженные через переменную г эти величины становятся
равными
Y =_____________________А ~[д2(М2-а2)/Р2] б__________ (108)
[(/¦ — M) + (M2 -а2)1/2/р]2 + [92 (M2 — а2)/р2] H2 ’ ’
ф ________________2 [q (M2 — а2)/р] fx______________ (109)
[(/• — М) + (M2 — a2fl2lp] + [q2 (M2 — а2)/р2] fi2 ' '
Если в согласии с условием (105) выбрать
P = (M2 — а2)1/2/М <7 = al M (110)
18
Глава 6. Метрика Керра
то решения для f и Ф существенно упрощаются:
f = (А — а2б)/р2, Ф = 2аМ|л/р2, (111)
P2 = г2 a2Ji2 = г2 -f- a2 cos2 0. (112)
Далее, вследствие уравнения (99) имеем
Ф( 2 = —4аМг(х/р4 = (?2/Д) со, з = [(А — а2б)2/р4Д ]со, 3,
Ф, з = (2а.М/р4) (г2 — а2ц2) = —(?2/8) со, 2 =
= — t(A — а2б)2/р4б]й, 2. (113)
Следовательно,
4аЛ1тД - 2аМ (г2 — а2и2) 6 /ііл\
Ю.» = - (Д-^6)~« ’ ^2 =--------(A -aW-------’ (И4)
и решение ДЛЯ G) имеет вид
со 2аМг6 /11С\
" = = (115)
Получаем также (ср. с уравнением (98))
Y = (%2 _ ^2) = e2v _ = (Д я?8)/р2. (116)
