Математическая теория черных дыр Часть 2 - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
R = O, dR/dr = 0. (281)
Ограничения на интегралы движения ?, т] и E2y следующие из. условий (281), можно получить в точности так же, как и в п. 63, ву за исключением того, что теперь нужно в определении R добавить член —г2Д/?2. Следуя по проторенному пути, находим, что уравнения (216) и (217) заменяются уравнениями
Зг4 + г2а2 — л (г2 — а2) — (г/E)2 (Зг2 — 4Мг + а2) = г2%\ (282)
г4 — а2Мг + ц(а2 — Mr) — (г3/Е2) (г — М) = гМ (I2 — 2а?).
(283)
Как и прежде, нужно разрешить эти уравнения относительно*
I И Tb
Исключая г] из уравнений (282) и (283), получаем вместо уравнения (218)
а2 (г — AQ I2 — 2аМ (г2 — a2) I —
— \(г2 + а2) Ir (г2 + а2) — M (Зг2 — а2)] — гА2/Е2) = 0. (284)
Решение этого уравнения имеет_ вид (ср. с уравнением (220)):
¦ ? = a~l (г — M)-1 (М (г2 - а2)’± гД [1 - Е~* (1 - М/г)]1'2}, (285)
$ соответствующее решение для л есть (ср. с уравнением (225)) Tia2 (г — Ml) = г3 (г — Al)"1 Ua2Af — г (г — 3Af)2] +
+ (г/E)2 Ir (г — 2 Al)2 — a2M ] —
— 2г3М (г — AfJ-1A {1 ± H — (I — Mlr)IE2Yl*}. (286)
Геометрическое место этих критических точек, определяющих критическую кривую, показано на рис. 39.
Пусть теперь интегралы движения | и г| принимают значения I8 и г|8, соответствующие движению частицы с энергией E .на единицу массы по орбите постоянного радиуса rs, т. е. пусть
64. Времениподобные геодезические
91
и r\s принимают значения, задаваемые уравнениями (285) и (286) при заданном значении г = rs и заданной энергии E. (Разумеется, необходимо, чтобы для выбранных значений rs и ?2 величина r\s была положительной в случае ограниченных и переходных орбит.) Если интегралы движения выбраны указанным образом, то rs является двойным корнем уравнения R = О и, следовательно, функцию R можно представить в виде
Я = (r-rs)2{r2(l - ?“2) +
+ 2rrs [1 - Е-2( I - М/г,)]--O2TЬ/г2). (287)
Полагая теперь
* = (г - г,)"1, (288)
видим, что интеграл, который мы должны приравнять тому или другому выражению для интеграла
}©~I/2dn, (289)
найденному выше в п. 64, а, равен
J /?-»/»dr = - J dx {(1 —
. -?-2) + [4rs(l-?-2) +
+ 2МЕ-2] х +
: + [3r2(l-Zr2)-«Vr2+
- +2MrsE~2]x2}~1/2. (290)
Это элементарный интеграл, значения которого легко выписать для каждого из трех случаев E2 > 1, E2 = 1 и E2 < 1. Действительно, вводя определение
' F (х) = а + $х + ух2, (291)
где a, P и у — коэффициенты квадратичной формы по х, которая появляется в интеграле (290), находим
• ±7~1/21п[2(7^)1/2 +27Х +PJ при 7>0,
J R-lI2Ar= ± 1/2 Arsh (27АГ+Р)^~1/2 ПРИ Y>0, Z)>0,
. ^(—v)_,/2 arcsin(27ArxP)(—D)-1/2приv<0, D< 0, ; (292)
Рис. 39. Геометрическое место точек (Ist ris), определяемое уравнениями (285) и (286), для переходных ограниченных вре-мениподобных орбит с E2 = 1,0. Единица длины вдоль оси абсцисс равна Mt а параметр Керра а выбран равным 0,8.
где
D =
4 {[rs(l — E-2) + М/Е2]2 + (a2T]s/ri) (1 - ?‘2)}. (293)
І, Примеры орбит, вычисленных на основе этих уравнений, (показаны на рис. 40.
92
Глава 7. Геодезические в пространстве-времени Керра
Как и в случае изотропных геодезических, орбиты постоянного радиуса, соответствующие г\ = 0, обязательно лежат в экваториальной плоскости. Это сразу же следует из уравнений (282) и (283), которые при Т) = 0 сводятся к следующим уравнениям:
3 г2 + а2 — (3 г2 — AMr +
+ a2)! E2 = ?2,
г3 — г2 (г — M)/E2 =
= M(I-U2)y (294)
а эти уравнения совпадают в точности с уравнениями (108) и (109), описывающими круговые орбиты в экваториальной плоскости.
65. Процесс Пенроуза
Выше (п. 58, а) мы обращали внимание на важное значение поверхности, на которой компонента метрики gtt обращается в нуль, и на то, что в геометрии Керра эта поверхность не совпадает с горизонтом событий, за исключением полюсов. В тороидальном пространстве между этими двумя поверхностями, т. е. в эргосфере, вектор Киллинга dldt становится пространственноподобным и точно также становится пространственноподобной сохраняющаяся компонента Pt 4-вектора импульса. Энергия частицы в этой области пространства, измеряемая наблюдателем на бесконечности, может быть отрицательной. Последнее обстоятельство имеет важные следствия: становится возможным, как показал впервые Пенроуз, физический процесс, приводящий
-5--
Рис. 40. Критические переходные времени-подобные геодезические в плоскости (г, 0), описываемые уравнениями (279) и (292) для трех значений rs: а — 2,154; б —
4,0; в — 5,44. Единица длины вдоль координатных осей равна Mi а значение параметра Керра а выбрано равным 0,8.
65. Процесе Пенроуза
93
к извлечению энергии и момента количества движения из черной дыры. В настоящем параграфе мы изучим природу таких процессов и найдем ограничение на количество энергии, которую можно извлечь из черной дыры.
Найдем прежде всего предельное значение энергии, которую может иметь частица в заданной точке пространства. Этот предел мы получим, приравняв нулю кинетическую энергию, пропорциональную г2. Тогда из уравнений (183) и (185) следует
